Страницы 258-259 номер 514, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

В каждом пункте дано совместное распределение двух случайных величин \(X\) и \(Y\): в клетках таблицы стоят вероятности того, что \(X\) и \(Y\) одновременно примут указанные в заголовках значения. Порядок счёта один и тот же: маргинальные распределения каждой величины, затем три математических ожидания, затем ковариация по формуле \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\).

а) Совместное распределение:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ \hline 1 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: \(0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) — сумма всех вероятностей таблицы равна 1.

Маргинальные распределения получаются сложением по строкам и по столбцам: \(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\) и \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\); \(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\) и \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\). Отсюда

\[\mathrm{E}X = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5, \quad \mathrm{E}Y = 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 1{,}5.\]

Произведение \(XY\) отлично от нуля только в двух клетках нижней строки, где \(X = 1\):

\[\mathrm{E}(XY) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.\]

Тогда \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0{,}7 - 0{,}5 \cdot 1{,}5 = -0{,}05\). Ковариация отрицательна: между величинами есть отрицательная линейная связь.

б) Совместное распределение:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 2 & 4 \\ \hline -1 & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \hline 1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: \(0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1\).

Маргинальное распределение \(X\): \(\mathrm{P}(X = -1) = 0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}6\), \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}4\). Маргинальное распределение \(Y\): \(\mathrm{P}(Y = 0) = 0{,}5\), \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(Y = 4) = 0{,}2\). Отсюда

\[\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}6 + 1 \cdot 0{,}4 = -0{,}2, \quad \mathrm{E}Y = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}4.\]

В клетках со значением \(Y = 0\) произведение равно нулю, поэтому в сумме для \(\mathrm{E}(XY)\) остаются четыре слагаемых:

\[\mathrm{E}(XY) = -2 \cdot 0{,}1 - 4 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}2.\]

Тогда \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0{,}2 - (-0{,}2) \cdot 1{,}4 = 0{,}2 + 0{,}28 = 0{,}48\). Ковариация положительна: между величинами есть положительная линейная связь.

в) Совместное распределение:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -1 & 0{,}125 & 0{,}125 & 0{,}125 & 0{,}125 \\ \hline 3 & 0{,}125 & 0{,}125 & 0{,}125 & 0{,}125 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: все восемь клеток равны \(0{,}125\), и \(8 \cdot 0{,}125 = 1\).

Маргинальное распределение \(X\): в каждой строке четыре клетки, поэтому \(\mathrm{P}(X = -1) = \mathrm{P}(X = 3) = 0{,}5\). Маргинальное распределение \(Y\): в каждом столбце две клетки, поэтому каждое из четырёх значений \(Y\) имеет вероятность \(0{,}25\). Отсюда

\[\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}5 = 1, \quad \mathrm{E}Y = (-3 + 0 + 1 + 2) \cdot 0{,}25 = 0.\]

Произведения \(XY\) во всех восьми клетках равновероятны, поэтому

\[\mathrm{E}(XY) = (3 + 0 - 1 - 2 - 9 + 0 + 3 + 6) \cdot 0{,}125 = 0 \cdot 0{,}125 = 0.\]

Тогда \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0 - 1 \cdot 0 = 0\).

Нулевая ковариация здесь не случайна: вероятность в каждой клетке равна произведению вероятностей из маргинальных распределений, \(0{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}125\), то есть величины независимы. Линейной связи между ними нет.

Ответ: а) \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = -0{,}05\); б) \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0{,}48\); в) \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\).