Страница 258 номер 511, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Монету бросают два раза. Бинарная случайная величина \(I\) равна 1, если при первом броске выпал орёл, и равна 0, если выпала решка; бинарная величина \(J\) устроена так же для второго броска.

Каждая из величин принимает значение 1 с вероятностью \(0{,}5\) и значение 0 с вероятностью \(0{,}5\), поэтому

\[\mathrm{E}I = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5, \quad \mathrm{E}J = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5.\]

Произведение \(IJ\) равно 1 только тогда, когда орёл выпал оба раза, и равно 0 в остальных случаях. Броски монеты независимы, поэтому вероятность выпадения двух орлов равна \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), а значит, \(\mathrm{E}(IJ) = 1 \cdot 0{,}25 = 0{,}25\). Тот же результат даёт правило: математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть \(\mathrm{E}(IJ) = \mathrm{E}I \cdot \mathrm{E}J\).

Подставим три ожидания в формулу ковариации:

\[\mathrm{cov}(I,\ J) = \mathrm{E}(IJ) - \mathrm{E}I \cdot \mathrm{E}J = 0{,}25 - 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0.\]

Ковариация равна нулю: линейной связи между результатами двух бросков нет, и это естественно — результат второго броска никак не связан с результатом первого.

Ответ: \(\mathrm{cov}(I,\ J) = 0\).