Вопросы после параграфа §55 на странице 260, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Она равна нулю — при условии, что у обеих величин есть математические ожидания. Это свойство 1 ковариации.

Доказательство умещается в строку: у независимых величин математическое ожидание произведения равно произведению ожиданий, \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\), поэтому

\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0.\]

Например, число очков при первом броске кубика и число очков при втором броске независимы, поэтому их ковариация равна нулю.

Ответ: Ковариация независимых случайных величин, имеющих математические ожидания, равна 0.

Нет, нельзя: равенство ковариации нулю говорит лишь об отсутствии линейной связи, а зависимость между величинами может быть и нелинейной. Вот пример с числами.

Пусть \(X\) принимает значения \(-1\), 0 и 1 с вероятностями \(0{,}25\); \(0{,}5\); \(0{,}25\), а \(Y = X^2\). Тогда

\[\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}25 = 0.\]

Произведение \(XY\) равно \(X^3\), а кубы чисел \(-1\), 0 и 1 равны самим числам, поэтому \(X^3 = X\), откуда \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X^3 = \mathrm{E}X = 0\) и

\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0 - 0 \cdot \mathrm{E}Y = 0.\]

При этом величины зависимы, и зависимость жёсткая: по значению \(X\) значение \(Y\) восстанавливается однозначно. Это видно и по вероятностям: \(Y\) принимает значение 1 с вероятностью \(0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\), а вероятность того, что одновременно \(X = 0\) и \(Y = 1\), равна нулю: при \(X = 0\) величина \(Y\) тоже равна 0. Равенство, которое выполняется для независимых величин, нарушено.

Ответ: Нет, нельзя: нулевая ковариация означает лишь отсутствие линейной связи. Например, у величины \(X\) со значениями \(-1\); 0; 1 (вероятности \(0{,}25\); \(0{,}5\); \(0{,}25\)) и величины \(Y = X^2\) ковариация равна нулю, а зависимость между ними жёсткая.

Она равна нулю: \(\mathrm{cov}(X,\ 4) = 0\). Это следствие из свойства 1: постоянная случайная величина не зависит ни от какой другой, а ковариация независимых величин равна нулю.

Тот же результат даёт прямая выкладка: \(\mathrm{E}4 = 4\) и \(\mathrm{E}(4X) = 4\mathrm{E}X\), поэтому \(\mathrm{cov}(X,\ 4) = \mathrm{E}(4X) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}4 = 4\mathrm{E}X - 4\mathrm{E}X = 0\).

Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ 4) = 0\).

Свойств шесть.

Свойство 1. Если случайные величины \(X\) и \(Y\) имеют математические ожидания и независимы, то их ковариация равна нулю: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\). Следствие из свойства 1: если одна из величин постоянна, то ковариация равна нулю, \(\mathrm{cov}(X,\ a) = 0\).

Свойство 2. Ковариация величины с самой собой равна её дисперсии: \(\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{D}X\).

Свойство 3 (переместительный закон). \(\mathrm{cov}(Y,\ X) = \mathrm{cov}(X,\ Y)\).

Свойство 4 (распределительный закон). \(\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ Z)\).

Свойство 5 (вынесение числового множителя). \(\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{cov}(X,\ aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\).

Свойство 6. \(|\mathrm{cov}(X,\ Y)| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\).

Обратное к свойству 1 неверно: если ковариация равна нулю, величины не обязаны быть независимыми. Отдельного свойства о сдвиге нет, но оно получается из свойства 4 и следствия из свойства 1: \(\mathrm{cov}(X,\ Y + b) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ b) = \mathrm{cov}(X,\ Y)\), то есть прибавление числа ковариацию не меняет.

Ответ: 1) ковариация независимых величин, имеющих математические ожидания, равна нулю, и, как следствие, ковариация с постоянной величиной равна нулю; 2) \(\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{D}X\); 3) \(\mathrm{cov}(Y,\ X) = \mathrm{cov}(X,\ Y)\); 4) \(\mathrm{cov}(X,\ Y + Z) = \mathrm{cov}(X,\ Y) + \mathrm{cov}(X,\ Z)\); 5) \(\mathrm{cov}(aX,\ Y) = \mathrm{cov}(X,\ aY) = a \cdot \mathrm{cov}(X,\ Y)\); 6) \(|\mathrm{cov}(X,\ Y)| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X} \cdot \sqrt{\mathrm{D}Y}\).

Она равна дисперсии этой величины: \(\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{D}X\) (свойство 2). Доказательство идёт прямо по определению ковариации, а дисперсия и есть математическое ожидание квадрата отклонения величины от её математического ожидания:

\[\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{E}\bigl((X - \mathrm{E}X)(X - \mathrm{E}X)\bigr) = \mathrm{E}(X - \mathrm{E}X)^2 = \mathrm{D}X.\]

Например, для числа очков при одном броске игрального кубика \(\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{D}X = \dfrac{35}{12}\).

Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ X) = \mathrm{D}X\) — ковариация случайной величины с самой собой равна её дисперсии.