Страница 244 номер 494, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(Z \sim N(0,\ 1)\); вероятности находим по таблице значений функции \(\Phi(x) = \mathrm{P}(Z < x)\), пользуясь равенством \(\mathrm{P}(a \leqslant Z \leqslant b) = \Phi(b) - \Phi(a)\).
а) Событие \(-2 \leqslant Z\) противоположно событию \(Z < -2\), вероятность которого равна \(\Phi(-2)\): \[\mathrm{P}(-2 \leqslant Z) = 1 - \Phi(-2) = 1 - 0{,}0228 = 0{,}9772 \approx 0{,}977.\]
б) \[\mathrm{P}(0 \leqslant Z \leqslant 2) = \Phi(2) - \Phi(0) = 0{,}9772 - 0{,}5000 = 0{,}4772 \approx 0{,}477.\]
в) Неравенство \(|Z| \leqslant 1{,}5\) означает, что \(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5\): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(|Z| \leqslant 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = {} \\ &= 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664 \approx 0{,}866. \end{aligned}\]
г) \[\mathrm{P}(-1{,}2 \leqslant Z \leqslant 0) = \Phi(0) - \Phi(-1{,}2) = 0{,}5000 - 0{,}1151 = 0{,}3849 \approx 0{,}385.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}977\); б) \(\approx 0{,}477\); в) \(\approx 0{,}866\); г) \(\approx 0{,}385\).
Случайная величина \(Z\) распределена по стандартному нормальному закону: \(Z \sim N(0,\ 1)\). Вероятности находим по таблице значений функции \(\Phi(x) = \mathrm{P}(Z < x)\), пользуясь равенством \(\mathrm{P}(a \leqslant Z \leqslant b) = \Phi(b) - \Phi(a)\), в котором из значения при большем аргументе вычитается значение при меньшем. Все нужные аргументы в таблице есть.
а) Событие \(-2 \leqslant Z\) противоположно событию \(Z < -2\), вероятность которого равна \(\Phi(-2)\):
\[\mathrm{P}(-2 \leqslant Z) = 1 - \Phi(-2) = 1 - 0{,}0228 = 0{,}9772 \approx 0{,}977.\]
б) \[\mathrm{P}(0 \leqslant Z \leqslant 2) = \Phi(2) - \Phi(0) = 0{,}9772 - 0{,}5000 = 0{,}4772 \approx 0{,}477.\]
в) Неравенство \(|Z| \leqslant 1{,}5\) означает, что \(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5\):
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(|Z| \leqslant 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = {} \\ &= 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664 \approx 0{,}866. \end{aligned}\]
г) \[\mathrm{P}(-1{,}2 \leqslant Z \leqslant 0) = \Phi(0) - \Phi(-1{,}2) = 0{,}5000 - 0{,}1151 = 0{,}3849 \approx 0{,}385.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}977\); б) \(\approx 0{,}477\); в) \(\approx 0{,}866\); г) \(\approx 0{,}385\).
