Страница 261 номер 516, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы, их дисперсии равны \(\mathrm{D}X = 3\) и \(\mathrm{D}Y = 2\). Из независимости следует \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\), а ковариация величины с самой собой равна её дисперсии: \(\mathrm{cov}(X,\ X) = 3\) и \(\mathrm{cov}(Y,\ Y) = 2\). Составной первый аргумент каждый раз переносим на второе место переместительным законом.

а) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X - Y,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X - Y) = \mathrm{cov}(Y,\ X) + \mathrm{cov}(Y,\ -Y) = {} \\ &= 0 - \mathrm{D}Y = -2. \end{aligned}\]

б) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X - 3Y,\ 2X) = \mathrm{cov}(2X,\ X - 3Y) = \mathrm{cov}(2X,\ X) + \mathrm{cov}(2X,\ -3Y) = {} \\ &= 2\mathrm{D}X - 6\,\mathrm{cov}(X,\ Y) = 6 - 0 = 6. \end{aligned}\]

в) Разложим по второму аргументу: \(\mathrm{cov}(X - Y,\ X + Y) = \mathrm{cov}(X - Y,\ X) + \mathrm{cov}(X - Y,\ Y)\). Первое слагаемое равно

\[\mathrm{cov}(X - Y,\ X) = \mathrm{cov}(X,\ X - Y) = \mathrm{cov}(X,\ X) + \mathrm{cov}(X,\ -Y) = 3 - 0 = 3.\]

Второе слагаемое уже найдено в пункте а): \(\mathrm{cov}(X - Y,\ Y) = -2\). Значит, \(\mathrm{cov}(X - Y,\ X + Y) = 3 - 2 = 1\).

г) \[\mathrm{cov}(X + Y + 2,\ X + Y) = \mathrm{cov}(X + Y,\ X + Y + 2) = \mathrm{cov}(X + Y,\ X + Y) + \mathrm{cov}(X + Y,\ 2).\]

Второе слагаемое равно нулю, а первое — это дисперсия суммы: \(\mathrm{cov}(X + Y,\ X + Y) = \mathrm{D}(X + Y)\). Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий, поэтому \(\mathrm{D}(X + Y) = 3 + 2 = 5\).

Ответ: а) \(-2\); б) 6; в) 1; г) 5.