Страница 237 номер 485, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(\theta = 2\) года — среднее время безотказной работы телефона
Найти: вероятность того, что телефон проработает без поломок: а) не менее года; б) не менее 2 лет; в) не менее 4 лет.
Решение:
\(T\) — срок безотказной работы телефона в годах; поломка не зависит от того, сколько телефон уже проработал, значит, величина \(T\) имеет показательное распределение с параметром \(\theta = 2\), и вероятность проработать не менее \(x\) лет равна
\[\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-\frac{x}{\theta}} = e^{-\frac{x}{2}}.\]
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 1) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}606.\]
б) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2) = e^{-1} \approx 0{,}368.\]
в) \[\mathrm{P}(T \geqslant 4) = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
Ответ: а) \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}606\); б) \(e^{-1} \approx 0{,}368\); в) \(e^{-2} \approx 0{,}135\).
Дано:
\(\theta = 2\) года — среднее время безотказной работы телефона
Найти: вероятность того, что телефон проработает без поломок: а) не менее года; б) не менее 2 лет; в) не менее 4 лет.
Решение:
Обозначим \(T\) — срок безотказной работы телефона в годах. Поломка может случиться в любой момент, и от того, сколько телефон уже проработал, это не зависит. Значит, величина \(T\) имеет показательное распределение, а среднее время безотказной работы и есть его параметр: \(\theta = 2\).
Вероятность того, что телефон проработает без поломок не менее \(x\) лет, равна \[\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-\frac{x}{\theta}} = e^{-\frac{x}{2}}.\]
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 1) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}606.\]
б) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2) = e^{-1} \approx 0{,}368.\]
в) \[\mathrm{P}(T \geqslant 4) = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
Значит, до своего среднего срока службы доживает меньше половины телефонов — примерно 37 из 100.
Ответ: а) \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}606\); б) \(e^{-1} \approx 0{,}368\); в) \(e^{-2} \approx 0{,}135\).
