Страница 254 номер 509, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) имеет распределение Пуассона с параметром \(\lambda > 1\):
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
При \(k \geqslant 1\) верно \(\lambda^k = \lambda \cdot \lambda^{k-1}\) и \(k! = k \cdot (k-1)!\), поэтому соседние вероятности связаны равенством
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda \cdot \lambda^{k-1}}{k \cdot (k-1)!}e^{-\lambda} = {} \\ &= \frac{\lambda}{k} \cdot \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda} = \frac{\lambda}{k}\,\mathrm{P}(X = k - 1). \end{aligned}\]
Все вероятности положительны, поэтому сравнение соседних вероятностей сводится к сравнению множителя \(\dfrac{\lambda}{k}\) с единицей:
- при \(k < \lambda\) множитель больше 1, и вероятность возрастает;
- при \(k = \lambda\) (такое \(k\) есть только при целом \(\lambda\)) множитель равен 1, и вероятность не меняется;
- при \(k > \lambda\) множитель меньше 1, и вероятность убывает.
Обозначим \(m = [\lambda]\) — целую часть числа \(\lambda\); из \(\lambda > 1\) следует \(m \geqslant 1\).
1. Число \(\lambda\) не целое. Тогда \(m < \lambda < m + 1\): для \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ m\) верно \(k \leqslant m < \lambda\), и вероятности возрастают, а для \(k \geqslant m + 1\) верно \(k > \lambda\), и дальше они убывают:
\[\mathrm{P}(X = 0) < \mathrm{P}(X = 1) < \ldots < \mathrm{P}(X = m) > \mathrm{P}(X = m + 1) > \ldots\]
Наибольшая из всех вероятностей — \(\mathrm{P}(X = m)\), где \(m = [\lambda]\).
2. Число \(\lambda\) целое. Тогда \(m = \lambda\): вероятности возрастают до \(k = \lambda - 1\), при \(k = \lambda\) множитель равен 1, то есть \(\mathrm{P}(X = \lambda) = \mathrm{P}(X = \lambda - 1)\), а дальше убывают. Наибольшее значение достигается дважды — при \(k = \lambda - 1\) и при \(k = \lambda = [\lambda]\).
В обоих случаях вероятности сначала возрастают, а затем убывают, и наибольшую вероятность имеет событие \(X = [\lambda]\), что и требовалось доказать.
Условие \(\lambda > 1\) существенно: оно даёт \(\dfrac{\lambda}{1} > 1\), то есть хотя бы одно возрастание в начале; при \(\lambda \leqslant 1\) вероятности только убывают, начиная с наибольшей \(\mathrm{P}(X = 0)\).
Ответ: Соседние вероятности связаны равенством \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{\lambda}{k}\,\mathrm{P}(X = k - 1)\), поэтому при \(k < \lambda\) вероятности возрастают, а при \(k > \lambda\) убывают; наибольшую вероятность имеет значение \(k = [\lambda]\) — целая часть числа \(\lambda\), а при целом \(\lambda\) такая же наибольшая вероятность у значения \(k = \lambda - 1\).
Пусть случайная величина \(X\) имеет распределение Пуассона с параметром \(\lambda\), причём \(\lambda > 1\). Тогда
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
Все эти вероятности положительны, поэтому соседние можно сравнивать делением. Свяжем их равенством. При \(k \geqslant 1\) имеем \(\lambda^k = \lambda \cdot \lambda^{k-1}\) и \(k! = k \cdot (k-1)!\), поэтому
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda \cdot \lambda^{k-1}}{k \cdot (k-1)!}e^{-\lambda} = {} \\ &= \frac{\lambda}{k} \cdot \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda} = \frac{\lambda}{k}\,\mathrm{P}(X = k - 1). \end{aligned}\]
Каждая следующая вероятность получается из предыдущей умножением на число \(\dfrac{\lambda}{k}\), поэтому сравнение \(\mathrm{P}(X = k)\) с \(\mathrm{P}(X = k - 1)\) сводится к сравнению множителя \(\dfrac{\lambda}{k}\) с единицей:
- при \(k < \lambda\) множитель \(\dfrac{\lambda}{k} > 1\), и вероятность возрастает: \(\mathrm{P}(X = k) > \mathrm{P}(X = k - 1)\);
- при \(k = \lambda\) множитель равен 1, и вероятность не меняется (такое \(k\) существует только при целом \(\lambda\));
- при \(k > \lambda\) множитель \(\dfrac{\lambda}{k} < 1\), и вероятность убывает: \(\mathrm{P}(X = k) < \mathrm{P}(X = k - 1)\).
Обозначим целую часть числа \(\lambda\) буквой \(m\): это наибольшее целое число, не превосходящее \(\lambda\), то есть \(m = [\lambda]\). Так как \(\lambda > 1\), получаем \(m \geqslant 1\). Разберём два случая.
1. Число \(\lambda\) не целое. Тогда \(m < \lambda < m + 1\). Для каждого номера \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ m\) верно \(k \leqslant m < \lambda\), поэтому на всём этом участке вероятности возрастают:
\[\mathrm{P}(X = 0) < \mathrm{P}(X = 1) < \ldots < \mathrm{P}(X = m).\]
Для каждого номера \(k \geqslant m + 1\) верно \(k \geqslant m + 1 > \lambda\), поэтому дальше вероятности убывают:
\[\mathrm{P}(X = m) > \mathrm{P}(X = m + 1) > \mathrm{P}(X = m + 2) > \ldots\]
Наибольшая из всех вероятностей — \(\mathrm{P}(X = m)\), где \(m = [\lambda]\).
2. Число \(\lambda\) целое. Тогда \(m = \lambda\). Для номеров \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ \lambda - 1\) верно \(k < \lambda\), и вероятности возрастают. При \(k = \lambda\) множитель равен 1, то есть \(\mathrm{P}(X = \lambda) = \mathrm{P}(X = \lambda - 1)\). Для номеров \(k \geqslant \lambda + 1\) множитель меньше 1, и вероятности убывают. Наибольшее значение достигается здесь дважды — при \(k = \lambda - 1\) и при \(k = \lambda = [\lambda]\).
В обоих случаях вероятности сначала возрастают, а затем убывают, и наибольшую вероятность имеет событие \(X = [\lambda]\), что и требовалось доказать. При целом \(\lambda\) такую же наибольшую вероятность имеет и событие \(X = [\lambda] - 1\).
Условие \(\lambda > 1\) здесь существенно: оно обеспечивает \(\dfrac{\lambda}{1} > 1\), то есть хотя бы одно возрастание в начале. При \(\lambda \leqslant 1\) множитель \(\dfrac{\lambda}{k}\) меньше 1 уже при \(k = 1\), и вероятности только убывают, начиная с наибольшей \(\mathrm{P}(X = 0)\).
Например, при \(\lambda = 2{,}4\) целая часть равна 2, и наибольшая из вероятностей — это
\[\mathrm{P}(X = 2) = \frac{2{,}4^2}{2!}e^{-2{,}4} \approx 0{,}261.\]
Ответ: Соседние вероятности связаны равенством \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{\lambda}{k}\,\mathrm{P}(X = k - 1)\), поэтому при \(k < \lambda\) вероятности возрастают, а при \(k > \lambda\) убывают; наибольшую вероятность имеет значение \(k = [\lambda]\) — целая часть числа \(\lambda\), а при целом \(\lambda\) такая же наибольшая вероятность у значения \(k = \lambda - 1\).
