Страницы 237-238 номер 488, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На рисунке — плотность показательного распределения величины \(T\) «срок службы телефона»: площадь \(S_1\) — вероятность поломки в течение первого года, \(S_2\) — в течение второго, и так далее. Эти площади и вправду убывают: \(S_1 > S_2 > S_3 > \ldots\), но вывод Василия Петровича, что старый телефон надёжнее нового, отсюда не следует.
Площади \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), … — вероятности событий, которые относятся к новому телефону: \(S_2\) — вероятность того, что новый телефон доработает до конца первого года и сломается на втором, и она меньше, чем \(S_1\), хотя бы потому, что до второго года телефон ещё должен дожить.
Покупателя подержанного телефона интересует другая, условная вероятность: телефон проработал \(y\) лет и пока цел — какова вероятность, что он проработает ещё год? У показательного распределения она от возраста телефона не зависит — в этом и состоит эффект отсутствия памяти: \[\mathrm{P}(T > y + 1 \mid T > y) = \mathrm{P}(T > 1) = e^{-\frac{1}{\theta}}.\]
Ось на рисунке размечена в единицах среднего срока службы, то есть \(\theta = 1\), и эта вероятность равна \(e^{-1} \approx 0{,}368\) — у нового телефона ровно такая же, как у десятилетнего.
Значит, Василий Петрович сравнил вероятности разных событий: «телефон сломается на втором году службы» — сюда входит и то, что телефон до второго года доживёт, — и «телефон, доживший до своего возраста, сломается в течение следующего года»; первая вероятность убывает с номером года, а вторая всё время одна и та же.
Ответ: Василий Петрович не прав: вероятность проработать ещё год у телефона любого возраста одна и та же и при среднем сроке службы, принятом за единицу времени, равна \(e^{-1} \approx 0{,}368\).
На рисунке изображён график плотности показательного распределения величины \(T\) «срок службы телефона». Площадь \(S_1\) — это вероятность того, что телефон сломается в течение первого года, площадь \(S_2\) — вероятность того, что он сломается в течение второго года, и так далее. Эти площади и вправду убывают: \(S_1 > S_2 > S_3 > \ldots\) . Из этого Василий Петрович заключил, что старый телефон надёжнее нового, и здесь он ошибается.
Площади \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), … — это вероятности событий, которые относятся к новому телефону. Например, \(S_2\) — вероятность того, что новый телефон доработает до конца первого года и сломается на втором. Она меньше, чем \(S_1\), хотя бы потому, что до второго года телефон ещё должен дожить.
Покупателя подержанного телефона интересует совсем другая вероятность. Телефон уже проработал \(y\) лет и пока цел; какова вероятность, что он проработает ещё год? Это условная вероятность, и у показательного распределения она не зависит от возраста телефона — в этом и состоит эффект отсутствия памяти: \[\mathrm{P}(T > y + 1 \mid T > y) = \mathrm{P}(T > 1) = e^{-\frac{1}{\theta}}.\]
Если за единицу времени принять средний срок службы, то есть взять \(\theta = 1\) — именно в таких единицах размечена ось на рисунке, — то эта вероятность равна \(e^{-1} \approx 0{,}368\). У нового телефона она ровно такая же, как у десятилетнего.
Значит, Василий Петрович сравнил вероятности разных событий: «телефон сломается на втором году службы» — сюда входит ещё и то, что телефон до второго года доживёт, — и «телефон, доживший до своего возраста, сломается в течение следующего года». Первая вероятность и правда убывает с номером года, а вторая всё время одна и та же, и никакого преимущества у старого телефона нет.
Ответ: Василий Петрович не прав: вероятность проработать ещё год у телефона любого возраста одна и та же и при среднем сроке службы, принятом за единицу времени, равна \(e^{-1} \approx 0{,}368\).
