Страница 237 номер 483, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(\theta = 4\) мин — среднее время ожидания поклёвки

Найти: а) уравнение функции плотности величины «срок ожидания поклёвки в минутах»; б) вероятность того, что ожидание поклёвки составит не менее 5 мин.

Решение:
Обозначим \(T\) — срок ожидания поклёвки в минутах. Поклёвка может случиться в любой момент, и от того, сколько рыбак уже просидел с удочкой, это не зависит. Значит, величина \(T\) имеет показательное распределение, а среднее время ожидания и есть его параметр: \(\theta = 4\).

а) Плотность показательного распределения равна нулю при \(x \leqslant 0\), а при \(x > 0\) равна \(\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\). Здесь \(\frac{1}{\theta} = \frac{1}{4} = 0{,}25\), поэтому \[p(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leqslant 0,\\[4pt] 0{,}25 e^{-0{,}25x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}\]

б) Ждать не менее 5 мин — это событие \(T \geqslant 5\), и его вероятность равна \[\mathrm{P}(T \geqslant 5) = e^{-\frac{5}{4}} \approx 0{,}287.\]

Ответ: а) \(p(x) = 0\), если \(x \leqslant 0\), и \(p(x) = 0{,}25 e^{-0{,}25x}\), если \(x > 0\); б) \(e^{-\frac{5}{4}} \approx 0{,}287\).