Страница 254 номер 506, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(X\) — число отказов платёжного терминала за три месяца
\(X\) имеет распределение Пуассона
в среднем 3 отказа за месяц
Найти: \(\mathrm{P}(X = 9)\), \(\mathrm{P}(X = 8)\) и \(\mathrm{P}(X \leqslant 12)\).
Решение:
Единица времени в вопросе задачи — три месяца, поэтому параметр пересчитываем: \(3 \cdot 3 = 9\) отказов за три месяца, то есть \(\lambda = 9\).
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{9^k}{k!}e^{-9},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) \[\mathrm{P}(X = 9) = \frac{9^9}{9!}e^{-9} \approx 0{,}132.\]
б) \[\mathrm{P}(X = 8) = \frac{9^8}{8!}e^{-9} \approx 0{,}132.\]
Эти вероятности равны не приблизительно, а в точности: \(9^9 = 9 \cdot 9^8\) и \(9! = 9 \cdot 8!\), поэтому дроби одинаковы:
\[\frac{9^9}{9!} = \frac{9 \cdot 9^8}{9 \cdot 8!} = \frac{9^8}{8!}.\]
в) «Не более 12 раз» — это \(X \leqslant 12\): тринадцать значений от 0 до 12, вероятности складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 12) = \frac{9^0}{0!}e^{-9} + \frac{9^1}{1!}e^{-9} + {} \\ &+ \frac{9^2}{2!}e^{-9} + \ldots + \frac{9^{12}}{12!}e^{-9} \approx 0{,}876. \end{aligned}\]
Ответ: а) вероятность ровно девяти отказов за три месяца — \(0{,}132\); б) вероятность ровно восьми отказов — тоже \(0{,}132\); в) вероятность не более двенадцати отказов — \(0{,}876\).
Дано:
\(X\) — число отказов платёжного терминала за три месяца
\(X\) имеет распределение Пуассона
в среднем 3 отказа за месяц
Найти: \(\mathrm{P}(X = 9)\), \(\mathrm{P}(X = 8)\) и \(\mathrm{P}(X \leqslant 12)\).
Решение:
Платёжный терминал торгового центра выходит из строя в среднем 3 раза за месяц. Отказы случаются по одному и в случайные моменты времени, а частота отказов не зависит ни от времени года или суток, ни от предыдущих событий — значит, отказы независимы и их средняя частота постоянна. Все условия выполнены, поэтому число отказов за выбранный промежуток времени имеет распределение Пуассона.
Единица времени в вопросе задачи — три месяца, поэтому параметр надо пересчитать: за один месяц в среднем 3 отказа, а за три месяца в среднем \(3 \cdot 3 = 9\) отказов. Значит, для случайной величины \(X\) «число отказов терминала за три месяца» параметр равен \(\lambda = 9\) и
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{9^k}{k!}e^{-9},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) Терминал выйдет из строя ровно 9 раз — это значение \(k = 9\):
\[\mathrm{P}(X = 9) = \frac{9^9}{9!}e^{-9} \approx 0{,}132.\]
б) Терминал выйдет из строя ровно 8 раз — это значение \(k = 8\):
\[\mathrm{P}(X = 8) = \frac{9^8}{8!}e^{-9} \approx 0{,}132.\]
Две последние вероятности равны не приблизительно, а в точности. Действительно, \(9^9 = 9 \cdot 9^8\) и \(9! = 9 \cdot 8!\), поэтому дроби в этих формулах одинаковы:
\[\frac{9^9}{9!} = \frac{9 \cdot 9^8}{9 \cdot 8!} = \frac{9^8}{8!}.\]
Одинаковы, следовательно, и произведения этих дробей на \(e^{-9}\). Так устроено любое распределение Пуассона с целым параметром: значения \(\lambda - 1\) и \(\lambda\) имеют одинаковую вероятность.
в) «Не более 12 раз» — это неравенство \(X \leqslant 12\), то есть одно из тринадцати значений от 0 до 12. Вероятности складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 12) = \frac{9^0}{0!}e^{-9} + \frac{9^1}{1!}e^{-9} + {} \\ &+ \frac{9^2}{2!}e^{-9} + \ldots + \frac{9^{12}}{12!}e^{-9} \approx 0{,}876. \end{aligned}\]
Такую сумму считают в электронной таблице функцией ПУАССОН.РАСП с последним аргументом 1.
Ответ: а) вероятность ровно девяти отказов за три месяца — \(0{,}132\); б) вероятность ровно восьми отказов — тоже \(0{,}132\); в) вероятность не более двенадцати отказов — \(0{,}876\).
