Страница 254 номер 507, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(X\) — число заказов в интернет-магазин за час
\(X\) имеет распределение Пуассона
в среднем 1 заказ за 6 минут
Найти: \(\mathrm{P}(X \leqslant 15)\), \(\mathrm{P}(X \geqslant 8)\) и \(\mathrm{P}(9 \leqslant X \leqslant 15)\).
Решение:
Единица времени в вопросе задачи — час, поэтому параметр пересчитываем: в часе \(60 : 6 = 10\) шестиминутных промежутков, на каждый приходится в среднем один заказ, значит, \(\lambda = 10\).
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{10^k}{k!}e^{-10},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) «Не более 15 заказов» — это \(X \leqslant 15\): шестнадцать несовместных значений от 0 до 15, вероятности складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 15) = \frac{10^0}{0!}e^{-10} + \frac{10^1}{1!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^2}{2!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^{15}}{15!}e^{-10} \approx 0{,}951. \end{aligned}\]
б) «Не менее 8 заказов» — это \(X \geqslant 8\); подходящих значений бесконечно много, поэтому считаем через противоположное событие \(X \leqslant 7\):
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 7) = \frac{10^0}{0!}e^{-10} + \frac{10^1}{1!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^2}{2!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^7}{7!}e^{-10} \approx 0{,}220. \end{aligned}\] \[\mathrm{P}(X \geqslant 8) = 1 - \mathrm{P}(X \leqslant 7) \approx 1 - 0{,}220 = 0{,}780.\]
в) «От 9 до 15 заказов» — это \(9 \leqslant X \leqslant 15\), оба конца включены, здесь семь слагаемых:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(9 \leqslant X \leqslant 15) = \frac{10^9}{9!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^{10}}{10!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^{15}}{15!}e^{-10} \approx 0{,}618. \end{aligned}\]
Ответ: а) вероятность того, что за час поступит не более 15 заказов, — \(0{,}951\); б) вероятность того, что поступит не менее 8 заказов, — \(0{,}780\); в) вероятность того, что поступит от 9 до 15 заказов, — \(0{,}618\).
Дано:
\(X\) — число заказов в интернет-магазин за час
\(X\) имеет распределение Пуассона
в среднем 1 заказ за 6 минут
Найти: \(\mathrm{P}(X \leqslant 15)\), \(\mathrm{P}(X \geqslant 8)\) и \(\mathrm{P}(9 \leqslant X \leqslant 15)\).
Решение:
Днём в интернет-магазин поступает в среднем один заказ каждые 6 минут. Заказы приходят по одному, в случайные моменты времени и независимо друг от друга, а днём их средняя частота постоянна. Значит, число заказов за выбранный промежуток времени имеет распределение Пуассона.
Единица времени в вопросе задачи — час, поэтому параметр надо пересчитать. В часе \(60 : 6 = 10\) шестиминутных промежутков, и на каждый приходится в среднем один заказ, значит, за час их в среднем 10. Для случайной величины \(X\) «число заказов за час» параметр равен \(\lambda = 10\) и
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{10^k}{k!}e^{-10},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) «Не более 15 заказов» — это неравенство \(X \leqslant 15\), то есть одно из шестнадцати значений от 0 до 15. Вероятности этих несовместных значений складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 15) = \frac{10^0}{0!}e^{-10} + \frac{10^1}{1!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^2}{2!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^{15}}{15!}e^{-10} \approx 0{,}951. \end{aligned}\]
Сумму такого вида получают в электронной таблице функцией ПУАССОН.РАСП с последним аргументом 1: она складывает вероятности всех значений от 0 до указанного.
б) «Не менее 8 заказов» — это неравенство \(X \geqslant 8\). Подходящих значений бесконечно много (\(8;\ 9;\ 10;\ \ldots\)), поэтому вероятность считают через противоположное событие \(X \leqslant 7\):
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 7) = \frac{10^0}{0!}e^{-10} + \frac{10^1}{1!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^2}{2!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^7}{7!}e^{-10} \approx 0{,}220. \end{aligned}\]
События \(X \leqslant 7\) и \(X \geqslant 8\) противоположны, поэтому их вероятности в сумме дают единицу:
\[\mathrm{P}(X \geqslant 8) = 1 - \mathrm{P}(X \leqslant 7) \approx 1 - 0{,}220 = 0{,}780.\]
в) «От 9 до 15 заказов» — это неравенство \(9 \leqslant X \leqslant 15\), оба конца включены. Здесь семь слагаемых:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(9 \leqslant X \leqslant 15) = \frac{10^9}{9!}e^{-10} + {} \\ &+ \frac{10^{10}}{10!}e^{-10} + \ldots + \frac{10^{15}}{15!}e^{-10} \approx 0{,}618. \end{aligned}\]
Ответ: а) вероятность того, что за час поступит не более 15 заказов, — \(0{,}951\); б) вероятность того, что поступит не менее 8 заказов, — \(0{,}780\); в) вероятность того, что поступит от 9 до 15 заказов, — \(0{,}618\).
