Страница 261 номер 515, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Известно, что \(\mathrm{cov}(X, Y) = 4\). Найдите: а) \(\mathrm{cov}(X, 2Y - 1)\); б) \(\mathrm{cov}(-3X, Y - 4)\); в) \(\mathrm{cov}(X + Y, 2)\); г) \(\mathrm{cov}(5 - 2Y, 8 + 3X)\).
\(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 4\); пользуемся распределительным законом, вынесением числового множителя и следствием из свойства 1: ковариация с постоянной величиной равна нулю.
а) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ 2Y - 1) = \mathrm{cov}(X,\ 2Y) + \mathrm{cov}(X,\ -1) = {} \\ &= 2\,\mathrm{cov}(X,\ Y) + 0 = 2 \cdot 4 = 8. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(-3X,\ Y - 4) = \mathrm{cov}(-3X,\ Y) + \mathrm{cov}(-3X,\ -4) = {} \\ &= -3\,\mathrm{cov}(X,\ Y) + 0 = -3 \cdot 4 = -12. \end{aligned}\]
в) Второй аргумент — постоянная величина: \(\mathrm{cov}(X + Y,\ 2) = 0\).
г) Распределительный закон работает со вторым аргументом, поэтому поменяем аргументы местами по переместительному закону:
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(5 - 2Y,\ 8 + 3X) = \mathrm{cov}(8 + 3X,\ 5 - 2Y) = {} \\ &= \mathrm{cov}(8 + 3X,\ 5) + \mathrm{cov}(8 + 3X,\ -2Y) = -2\,\mathrm{cov}(8 + 3X,\ Y). \end{aligned}\] \[\mathrm{cov}(8 + 3X,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ 8 + 3X) = \mathrm{cov}(Y,\ 8) + \mathrm{cov}(Y,\ 3X) = 3\,\mathrm{cov}(X,\ Y) = 12.\]
Значит, \(\mathrm{cov}(5 - 2Y,\ 8 + 3X) = -2 \cdot 12 = -24\).
Ответ: а) 8; б) \(-12\); в) 0; г) \(-24\).
Известно, что \(\mathrm{cov}(X, Y) = 4\). Найдите: а) \(\mathrm{cov}(X, 2Y - 1)\); б) \(\mathrm{cov}(-3X, Y - 4)\); в) \(\mathrm{cov}(X + Y, 2)\); г) \(\mathrm{cov}(5 - 2Y, 8 + 3X)\).
Известно, что \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 4\). Пользуемся распределительным законом, вынесением числового множителя и следствием из свойства 1: ковариация с постоянной величиной равна нулю.
а) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(X,\ 2Y - 1) = \mathrm{cov}(X,\ 2Y) + \mathrm{cov}(X,\ -1) = {} \\ &= 2\,\mathrm{cov}(X,\ Y) + 0 = 2 \cdot 4 = 8. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(-3X,\ Y - 4) = \mathrm{cov}(-3X,\ Y) + \mathrm{cov}(-3X,\ -4) = {} \\ &= -3\,\mathrm{cov}(X,\ Y) + 0 = -3 \cdot 4 = -12. \end{aligned}\]
в) Второй аргумент — постоянная величина, поэтому ковариация равна нулю: \(\mathrm{cov}(X + Y,\ 2) = 0\).
г) Здесь составной первый аргумент, а распределительный закон работает со вторым. Поменяем аргументы местами по переместительному закону:
\[\begin{aligned} &\mathrm{cov}(5 - 2Y,\ 8 + 3X) = \mathrm{cov}(8 + 3X,\ 5 - 2Y) = {} \\ &= \mathrm{cov}(8 + 3X,\ 5) + \mathrm{cov}(8 + 3X,\ -2Y) = -2\,\mathrm{cov}(8 + 3X,\ Y). \end{aligned}\]
Оставшуюся ковариацию разложим тем же приёмом:
\[\mathrm{cov}(8 + 3X,\ Y) = \mathrm{cov}(Y,\ 8 + 3X) = \mathrm{cov}(Y,\ 8) + \mathrm{cov}(Y,\ 3X) = 3\,\mathrm{cov}(X,\ Y) = 12.\]
Значит, \(\mathrm{cov}(5 - 2Y,\ 8 + 3X) = -2 \cdot 12 = -24\).
Ответ: а) 8; б) \(-12\); в) 0; г) \(-24\).
