Страница 244 номер 492, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием 16. Известно, что \(\mathrm{P}(18 < X < 24) = 0{,}1\). Вычислите \(\mathrm{P}(8 < X < 14)\).
Величина \(X\) распределена нормально, \(m = 16\), поэтому график её плотности симметричен относительно прямой \(x = 16\). Посмотрим, куда переходят при этой симметрии концы отрезка \([18;\ 24]\): \[16 - (18 - 16) = 14, \qquad 16 - (24 - 16) = 8.\]
Значит, отрезок \([18;\ 24]\) переходит в отрезок \([8;\ 14]\): оба удалены от числа 16 на одно и то же расстояние, от 2 до 8.
Вероятность события — это площадь криволинейной трапеции под графиком плотности, а две трапеции, симметричные относительно прямой \(x = 16\), равны: \[\mathrm{P}(8 < X < 14) = \mathrm{P}(18 < X < 24) = 0{,}1.\]
Стандартное отклонение величины \(X\) знать не нужно: ответ от него не зависит.
Ответ: \(\mathrm{P}(8 < X < 14) = 0{,}1\).
Случайная величина \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием 16. Известно, что \(\mathrm{P}(18 < X < 24) = 0{,}1\). Вычислите \(\mathrm{P}(8 < X < 14)\).
Случайная величина \(X\) распределена нормально, её математическое ожидание равно \(m = 16\). Известно, что \(\mathrm{P}(18 < X < 24) = 0{,}1\); надо вычислить \(\mathrm{P}(8 < X < 14)\).
График плотности нормального распределения симметричен относительно вертикальной прямой \(x = m\), то есть относительно прямой \(x = 16\). Посмотрим, куда при этой симметрии переходят концы отрезка \([18;\ 24]\):
\[16 - (18 - 16) = 14, \qquad 16 - (24 - 16) = 8.\]
Значит, отрезок \([18;\ 24]\) переходит в отрезок \([8;\ 14]\), причём оба отрезка удалены от числа 16 одинаково: первый лежит правее на расстояние от 2 до 8, второй — левее на то же расстояние.
Вероятность события — это площадь криволинейной трапеции под графиком плотности. Две криволинейные трапеции, симметричные относительно прямой \(x = 16\), равны, поэтому равны и их площади:
\[\mathrm{P}(8 < X < 14) = \mathrm{P}(18 < X < 24) = 0{,}1.\]
Стандартное отклонение величины \(X\) для этого знать не нужно: ответ от него не зависит.
Ответ: \(\mathrm{P}(8 < X < 14) = 0{,}1\).
