Страница 254 номер 510, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) соответственно. Известно, что тогда величина \(X + Y\) тоже имеет распределение Пуассона с некоторым параметром \(\lambda\); надо выразить этот параметр через \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\).

У величины с распределением Пуассона параметр равен её математическому ожиданию: \(\lambda\) — это среднее число событий за единицу времени, поэтому \(\mathrm{E}X = \lambda\). Применим это к каждой из трёх величин.

Для слагаемых:

\[\mathrm{E}X = \lambda_1,\quad \mathrm{E}Y = \lambda_2.\]

Для суммы: величина \(X + Y\) по условию распределена по закону Пуассона, значит, её параметр равен её математическому ожиданию, то есть \(\lambda = \mathrm{E}(X + Y)\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

\[\lambda = \mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y = \lambda_1 + \lambda_2.\]

У этого равенства есть наглядный смысл. Пусть \(X\) — число звонков за час на первую телефонную линию, а \(Y\) — число звонков за час на вторую; линии работают независимо. Величина \(X + Y\) — это число звонков за час на обе линии сразу, то есть число событий объединённого потока. На первую линию звонят в среднем \(\lambda_1\) раз в час, на вторую — \(\lambda_2\) раз в час, поэтому на обе вместе звонят в среднем \(\lambda_1 + \lambda_2\) раз в час. Это среднее и служит параметром объединённого потока.

Ответ: \(\lambda = \lambda_1 + \lambda_2\).