Страница 258 номер 512, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают два раза. Пусть \(X\) — число очков, выпавших при первом броске, а \(Y\) — число очков, выпавших при втором броске. Найдите \(\mathrm{cov}(X,\ Y)\).
При одном броске каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадает с вероятностью \(\dfrac{1}{6}\):
\[\mathrm{E}X = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5, \quad \mathrm{E}Y = 3{,}5.\]
Броски независимы, поэтому \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\).
\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 12{,}25 - 12{,}25 = 0.\]
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\).
Игральный кубик бросают два раза. Пусть \(X\) — число очков, выпавших при первом броске, а \(Y\) — число очков, выпавших при втором броске. Найдите \(\mathrm{cov}(X,\ Y)\).
Величина \(X\) — число очков при первом броске кубика, величина \(Y\) — число очков при втором броске. При одном броске каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадает с вероятностью \(\dfrac{1}{6}\), поэтому
\[\mathrm{E}X = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5, \quad \mathrm{E}Y = 3{,}5.\]
Броски независимы, поэтому математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий:
\[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25.\]
Тогда
\[\mathrm{cov}(X,\ Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 12{,}25 - 12{,}25 = 0.\]
Ковариация равна нулю: линейной связи между числом очков при первом и при втором броске нет.
Ответ: \(\mathrm{cov}(X,\ Y) = 0\).
