Страница 233 номер 480, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите вероятность того, что равномерно распределённая случайная величина больше, чем её математическое ожидание.
\(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\), конкретных чисел в условии нет, решение ведём в общем виде: \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\) — середина отрезка, плотность равна \(\frac{1}{b-a}\).
Событию \(X > \mathrm{E}X\) отвечает правая половина отрезка, от \(\frac{a+b}{2}\) до \(b\), длиной \(b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b - a - b}{2} = \frac{b-a}{2}\): \[\mathrm{P}(X > \mathrm{E}X) = \frac{b-a}{2} \cdot \frac{1}{b-a} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
Строгим или нестрогим взято неравенство — ответ не меняется: вероятность отдельного значения \(X = \mathrm{E}X\) у непрерывной случайной величины равна нулю.
Ответ: \(0{,}5\).
Найдите вероятность того, что равномерно распределённая случайная величина больше, чем её математическое ожидание.
Пусть случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\). Её математическое ожидание равно середине этого отрезка: \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\). Конкретные числа в условии не даны, поэтому вести решение будем в общем виде.
Событию \(X > \mathrm{E}X\) отвечает правая половина отрезка — от середины \(\frac{a+b}{2}\) до правого конца \(b\). Её длина равна \(b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b - a - b}{2} = \frac{b-a}{2}\), то есть половине длины всего отрезка.
Плотность постоянна и равна \(\frac{1}{b-a}\), поэтому искомая вероятность равна площади прямоугольника высоты \(\frac{1}{b-a}\) над правой половиной отрезка: \[\mathrm{P}(X > \mathrm{E}X) = \frac{b-a}{2} \cdot \frac{1}{b-a} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\]
От того, строгим или нестрогим взято неравенство, ответ не меняется: вероятность отдельного значения \(X = \mathrm{E}X\) у непрерывной случайной величины равна нулю.
Ответ: \(0{,}5\).
