Страница 237 номер 482, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(T\) имеет показательное распределение с параметром \(\theta = 1\), поэтому при \(x > 0\) вероятности равны \(\mathrm{P}(T \leqslant x) = 1 - e^{-x}\) и \(\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-x}\).
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2) = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
б) Событие \(T \geqslant 1\) происходит в двух случаях: либо при \(1 \leqslant T \leqslant 2\), либо при \(T \geqslant 2\), поэтому вероятность первого из них равна разности: \[\mathrm{P}(1 \leqslant T \leqslant 2) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233.\]
в) Время ожидания отрицательным не бывает: при \(x \leqslant 0\) плотность равна нулю, вся вероятность сосредоточена правее нуля, поэтому событие \(T \leqslant -2\) невозможно: \[\mathrm{P}(T \leqslant -2) = 0.\]
г) Событие \(T \geqslant -2\) противоположно событию из пункта в): \[\mathrm{P}(T \geqslant -2) = 1 - 0 = 1.\]
д) Так же, как в пункте б): \[\mathrm{P}(1 \leqslant T \leqslant 3) = e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318.\]
Ответ: а) \(e^{-2} \approx 0{,}135\); б) \(e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233\); в) 0; г) 1; д) \(e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318\).
Случайная величина \(T\) имеет показательное распределение с параметром \(\theta = 1\).
Для показательного распределения вероятность того, что время ожидания не превзойдёт положительного числа \(x\), равна \(\mathrm{P}(T \leqslant x) = 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}\). Противоположному событию отвечает вероятность \(\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-\frac{x}{\theta}}\). При \(\theta = 1\) эти выражения принимают вид \(1 - e^{-x}\) и \(e^{-x}\).
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2) = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
б) Событие \(T \geqslant 1\) происходит в двух случаях: либо \(1 \leqslant T \leqslant 2\), либо \(T \geqslant 2\). Значит, вероятность первого из них равна разности: \[\mathrm{P}(1 \leqslant T \leqslant 2) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233.\]
в) Время ожидания отрицательным не бывает: плотность показательного распределения при \(x \leqslant 0\) равна нулю, и вся вероятность сосредоточена правее нуля. Поэтому событие \(T \leqslant -2\) невозможно: \[\mathrm{P}(T \leqslant -2) = 0.\] Подставлять отрицательное число в формулу \(1 - e^{-x}\) нельзя: она выведена для положительных значений.
г) Событие \(T \geqslant -2\) противоположно событию из пункта в), поэтому \[\mathrm{P}(T \geqslant -2) = 1 - 0 = 1.\] Другими словами, любое значение времени ожидания больше, чем \(-2\).
д) Так же, как в пункте б): \[\mathrm{P}(1 \leqslant T \leqslant 3) = e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318.\]
Ответ: а) \(e^{-2} \approx 0{,}135\); б) \(e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233\); в) 0; г) 1; д) \(e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318\).
