Вопросы после параграфа §53 на странице 254, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава XII. Распределение Пуассона. §53. Случайная последовательность (поток) независимых событий. Страница 254, вопросы после параграфа §53

Решение:

1. Каким условиям должны удовлетворять случайные события, чтобы их количество в единицу времени подчинялось распределению Пуассона?

Задача массового обслуживания: однотипные события наступают в случайные моменты времени, и нас интересует их число за единицу времени.

Первое условие: события наступают строго по одному — промежуток времени можно взять настолько малым, что в него попадёт не более одного события.

Второе: события независимы — наступление одного не меняет вероятности наступления остальных.

Третье: за единицу времени наступает в среднем \(\lambda\) событий, и это среднее одно и то же для каждой единицы времени; число \(\lambda\) и есть параметр распределения.

Тогда величина \(X\) «число событий в единицу времени» имеет распределение Пуассона:

\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]

Ответ: События должны быть одинаковыми, наступать строго по одному (не более одного события за сколь угодно малый промежуток времени), независимо друг от друга, и за единицу времени их должно наступать в среднем \(\lambda\) штук — одно и то же число для каждой единицы времени.

2. Утром в подземный паркинг торгового центра въезжают немногочисленные автомобили с посетителями. Можно ли считать, что число автомобилей, заехавших в течение часа, подчиняется распределению Пуассона?

Автомобили проезжают шлагбаум строго по одному и в случайные моменты времени — первое условие выполнено.

Посетители друг с другом не сговариваются, поток немногочисленный, очереди у шлагбаума нет, поэтому приезд одной машины не влияет на то, когда приедет следующая, — второе условие выполнено.

Утренние часы похожи один на другой, поток редкий и ровный, среднее число машин за час утром постоянно — третье условие выполнено.

События однотипные, все три условия выполнены. Если же взять за единицу времени сутки целиком, третье условие нарушится: вечером и в выходные машин заметно больше.

Ответ: Да, число автомобилей, заехавших в паркинг за утренний час, можно считать подчиняющимся распределению Пуассона: машины въезжают по одной, в случайные моменты и независимо друг от друга, а средняя частота их появления в утренние часы постоянна.

3. Идёт футбольный матч. Можно ли считать, что количество мячей, забитых одной командой, подчиняется распределению Пуассона?

Гол — событие одиночное: два мяча одновременно не забивают, момент взятия ворот случаен, и первое условие выполнено. Малое среднее (команда забивает один-два мяча за матч) само по себе ничего не решает: распределению Пуассона подчиняется число событий при любом среднем.

Забитый гол меняет ход матча: ведущая команда бережёт счёт и обороняется, проигрывающая идёт вперёд и рискует; влияют замены, удаления, усталость к концу матча. Значит, голы не вполне независимы, а средняя частота их появления по ходу игры непостоянна — второе и третье условия нарушены, хотя и не грубо.

Распределение Пуассона служит здесь хорошей приближённой моделью, но точным описанием не является.

Ответ: Приближённо можно: мячи забиваются строго по одному и в случайные моменты матча, поэтому число голов команды за матч неплохо описывается распределением Пуассона. Точной эта модель не будет — забитый гол меняет манеру игры обеих команд, поэтому голы не вполне независимы, а средняя частота голов по ходу матча непостоянна.

4. Идёт игра в баскетбол. Можно ли считать, что количество очков, заработанных одной командой, подчиняется распределению Пуассона?

Очки начисляются не по одному: за результативный бросок команда получает сразу 1, 2 или 3 очка, счёт растёт скачками разной величины, а распределение Пуассона считает события, каждое из которых прибавляет ровно одну единицу. Первое условие нарушено.

Нарушено и третье: очки набираются неравномерно, в концовке при плотном счёте команда чаще зарабатывает штрафные броски, а проигрывающая сторона намеренно фолит.

Пуассоновской моделью здесь можно описать другую величину — например, число трёхочковых попаданий одной команды: такие попадания засчитываются по одному, случаются в случайные моменты и почти не зависят одно от другого.

Ответ: Нет, число очков баскетбольной команды считать пуассоновским нельзя: очки начисляются не по одному, а сразу по 1, 2 или 3 за результативный бросок, и первое условие распределения Пуассона нарушено; вдобавок средняя частота набора очков по ходу игры непостоянна.

Решение:

Речь идёт о задаче массового обслуживания: однотипные события наступают в случайные моменты времени, и нас интересует их число за единицу времени (за час, за сутки, за минуту). Чтобы это число подчинялось распределению Пуассона, событиям нужны три свойства.

Первое: события наступают строго по одному. Промежуток времени можно взять настолько малым, что в него попадёт не более одного события; одновременных, «двойных» событий быть не должно.

Второе: события наступают независимо друг от друга. Наступление одного события не меняет вероятности наступления остальных, а уже случившиеся события не влияют на будущие.

Третье: в среднем за единицу времени наступает \(\lambda\) событий, и это среднее одно и то же для каждой единицы времени. Число \(\lambda\) и есть параметр распределения.

Ещё одно требование заложено в самой постановке: события одинаковые (однотипные), иначе их нельзя пересчитывать вместе.

При этих условиях случайная величина \(X\) «число событий в единицу времени» имеет распределение Пуассона:

\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]

Пример. На телефонную линию поступает в среднем 2 звонка в минуту; звонки приходят по одному, в случайные моменты и независимо. Значит, \(\lambda = 2\), и вероятность того, что за минуту не будет ни одного звонка, равна

\[\mathrm{P}(X = 0) = \frac{2^0}{0!}e^{-2} = e^{-2} \approx 0{,}135.\]

Проверим все три условия по очереди.

Автомобили въезжают в паркинг через шлагбаум, то есть строго по одному и в случайные моменты времени: посетители приезжают кто когда соберётся. Первое условие выполнено.

Посетители торгового центра друг с другом не сговариваются, поэтому приезд одной машины не влияет на то, когда приедет следующая. Поток немногочисленный, очереди у шлагбаума нет, и предыдущие въезды не задерживают последующие. Второе условие выполнено.

Утренние часы похожи один на другой: центр только открылся, поток посетителей редкий и ровный, поэтому среднее число машин за час утром постоянно. Третье условие выполнено.

Все три условия выполнены, и события однотипные — заезд автомобиля с посетителями. Значит, число автомобилей за утренний час можно считать пуассоновским. Если взять за единицу времени не утренний час, а сутки целиком, третье условие нарушится: вечером и в выходные машин заметно больше.

Гол — событие одиночное: два мяча одновременно не забивают, и момент взятия ворот случаен. Первое условие выполнено. Голов за матч немного — команда забивает в среднем один-два мяча, — но само по себе это ничего не решает: распределению Пуассона подчиняется число событий при любом среднем, и малом, и большом. Ответ зависит от двух оставшихся условий.

А вот с независимостью дело обстоит хуже. Забитый гол меняет ход матча: ведущая команда начинает беречь счёт и обороняться, проигрывающая идёт вперёд и рискует. Влияют и замены, и удаления, и усталость к концу матча. Значит, голы не вполне независимы, а средняя частота их появления по ходу игры не постоянна — нарушены второе и третье условия, хотя и не грубо.

Значит, распределение Пуассона служит здесь хорошей приближённой моделью, но точным описанием не является.

Нет, нельзя, и это видно уже по первому условию. Очки в баскетболе начисляются не по одному: за результативный бросок команда получает сразу 1, 2 или 3 очка. Поэтому счёт растёт скачками разной величины, а распределение Пуассона считает события, каждое из которых прибавляет ровно одну единицу.

Не выполнено и третье условие. Очки за матч набираются часто — семьдесят, восемьдесят и больше, — но дело не в самом их количестве, а в том, что набираются они неравномерно: средняя частота набора очков по ходу игры непостоянна, в концовке при плотном счёте команда чаще зарабатывает штрафные броски, а проигрывающая сторона намеренно фолит.