Страница 237 номер 484, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(T\) имеет показательное распределение с параметром \(\theta\), числовое значение которого не задано: при \(x > 0\) вероятности равны \(\mathrm{P}(T \leqslant x) = 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}\) и \(\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-\frac{x}{\theta}}\). Граница каждого события имеет вид \(k\theta\), а в показателе параметр сокращается: \(\frac{k\theta}{\theta} = k\), — поэтому все вероятности окажутся числами, не зависящими от \(\theta\).
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2\theta) = e^{-\frac{2\theta}{\theta}} = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
б) Событие \(T \geqslant \theta\) происходит в двух случаях: либо при \(\theta \leqslant T \leqslant 2\theta\), либо при \(T \geqslant 2\theta\), поэтому вероятность первого из них равна разности: \[\mathrm{P}(\theta \leqslant T \leqslant 2\theta) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233.\]
в) Параметр \(\theta\) положителен, поэтому число \(-2\theta\) отрицательно, а время ожидания отрицательным не бывает: при \(x \leqslant 0\) плотность равна нулю, значит, событие \(T \leqslant -2\theta\) невозможно: \[\mathrm{P}(T \leqslant -2\theta) = 0.\]
г) Событие \(T \geqslant -2\theta\) противоположно событию из пункта в): \[\mathrm{P}(T \geqslant -2\theta) = 1 - 0 = 1.\]
д) Так же, как в пункте б): \[\mathrm{P}(\theta \leqslant T \leqslant 3\theta) = e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318.\]
Ответ: а) \(e^{-2} \approx 0{,}135\); б) \(e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233\); в) 0; г) 1; д) \(e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318\).
Случайная величина \(T\) имеет показательное распределение с параметром \(\theta\), и числовое значение параметра в условии не задано.
Для показательного распределения \(\mathrm{P}(T \leqslant x) = 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}\) при \(x > 0\), а вероятность противоположного события равна \(\mathrm{P}(T \geqslant x) = e^{-\frac{x}{\theta}}\). Во всех пунктах граница события кратна параметру, то есть имеет вид \(k\theta\), а в показателе такой параметр сокращается: \(\frac{k\theta}{\theta} = k\). Поэтому все вероятности окажутся числами, не зависящими от \(\theta\).
а) \[\mathrm{P}(T \geqslant 2\theta) = e^{-\frac{2\theta}{\theta}} = e^{-2} \approx 0{,}135.\]
б) Событие \(T \geqslant \theta\) происходит в двух случаях: либо \(\theta \leqslant T \leqslant 2\theta\), либо \(T \geqslant 2\theta\). Значит, вероятность первого из них равна разности: \[\mathrm{P}(\theta \leqslant T \leqslant 2\theta) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233.\]
в) Параметр \(\theta\) положителен, поэтому число \(-2\theta\) отрицательно. Время ожидания отрицательным не бывает: плотность при \(x \leqslant 0\) равна нулю, и вся вероятность сосредоточена правее нуля. Значит, событие \(T \leqslant -2\theta\) невозможно: \[\mathrm{P}(T \leqslant -2\theta) = 0.\]
г) Событие \(T \geqslant -2\theta\) противоположно событию из пункта в), поэтому \[\mathrm{P}(T \geqslant -2\theta) = 1 - 0 = 1.\]
д) Так же, как в пункте б): \[\mathrm{P}(\theta \leqslant T \leqslant 3\theta) = e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318.\]
Ответ: а) \(e^{-2} \approx 0{,}135\); б) \(e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}233\); в) 0; г) 1; д) \(e^{-1} - e^{-3} \approx 0{,}318\).
