Страница 249 номер 502, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 150\) — число испытаний Бернулли
\(p = 0{,}4\) — вероятность успеха в одном испытании

Найти: вероятность события: а) «наступит менее 48 успехов»; б) «наступит от 54 до 66 успехов».

Решение:

Пусть \(X\) — число успехов в серии из 150 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}4\). Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), распределение величины \(X\) — биномиальное \(Bi(150;\ 0{,}4)\). Точный расчёт по формуле Бернулли — это сумма десятков слагаемых вида \(C_{150}^k p^k q^{150-k}\), и без электронных средств он практически невозможен, поэтому воспользуемся нормальным приближением.

Среднее и дисперсия числа успехов равны:

\[\mathrm{E}X = np = 150 \cdot 0{,}4 = 60, \qquad \mathrm{D}X = npq = 150 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 36.\]

Стандартное отклонение равно \(\sqrt{npq} = \sqrt{36} = 6\). Распределение величины \(X\) приблизительно совпадает с нормальным распределением \(N(60,\ 36)\), поэтому можно перейти к величине \(Z\), распределение которой близко к стандартному нормальному:

\[Z = \frac{X - np}{\sqrt{npq}} = \frac{X - 60}{6}.\]

а) Событие \(X < 48\) превращается в событие \(Z < \frac{48 - 60}{6} = -2\):

\[\mathrm{P}(X < 48) \approx \Phi(-2) = 0{,}0228 \approx 0{,}023.\]

б) Границы события \(54 \leqslant X \leqslant 66\) в единицах стандартного отклонения равны \(\frac{54 - 60}{6} = -1\) и \(\frac{66 - 60}{6} = 1\), то есть событие превращается в \(-1 \leqslant Z \leqslant 1\):

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(54 \leqslant X \leqslant 66) \approx \Phi(1) - \Phi(-1) = {} \\ &= 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826 \approx 0{,}683. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\approx 0{,}023\); б) \(\approx 0{,}683\).