Страница 237 номер 486, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
5 попутных машин в час — в среднем проходит по дороге
Найти: а) уравнение функции плотности величины «время ожидания попутного автомобиля в минутах»; б) вероятность того, что ожидание следующей попутки составит не более 10 мин.
Решение:
\(T\) — время ожидания попутного автомобиля в минутах; появление машины не зависит от того, сколько пешеход уже прождал, значит, величина \(T\) имеет показательное распределение.
За час, то есть за 60 мин, проходит в среднем 5 машин, поэтому среднее время между двумя попутками равно \(\frac{60}{5} = 12\) (мин) — это и есть параметр распределения: \(\theta = 12\).
а) Здесь \(\frac{1}{\theta} = \frac{1}{12}\), поэтому \[p(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leqslant 0,\\[4pt] \dfrac{1}{12}\, e^{-\frac{x}{12}}, \text{ если } x > 0. \end{cases}\]
б) Пропущенная попутка на распределении времени ожидания следующей не сказывается: показательное распределение «не помнит», что было раньше. Ждать не более 10 мин — это событие \(T \leqslant 10\): \[\mathrm{P}(T \leqslant 10) = 1 - e^{-\frac{10}{12}} = 1 - e^{-\frac{5}{6}} \approx 0{,}565.\]
Ответ: а) \(p(x) = 0\), если \(x \leqslant 0\), и \(p(x) = \frac{1}{12} e^{-\frac{x}{12}}\), если \(x > 0\); б) \(1 - e^{-\frac{5}{6}} \approx 0{,}565\).
Дано:
5 попутных машин в час — в среднем проходит по дороге
Найти: а) уравнение функции плотности величины «время ожидания попутного автомобиля в минутах»; б) вероятность того, что ожидание следующей попутки составит не более 10 мин.
Решение:
Обозначим \(T\) — время ожидания попутного автомобиля в минутах. Машина может появиться в любой момент, и от того, сколько пешеход уже прождал, это не зависит. Значит, величина \(T\) имеет показательное распределение.
За час, то есть за 60 мин, в нужном направлении проходит в среднем 5 машин, поэтому среднее время между двумя попутками равно \[\frac{60}{5} = 12 \text{ (мин)}.\]
Это и есть параметр распределения: \(\theta = 12\).
а) Плотность показательного распределения равна нулю при \(x \leqslant 0\), а при \(x > 0\) равна \(\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\), то есть \(\frac{1}{12} e^{-\frac{x}{12}}\). Значит, \[p(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leqslant 0,\\[4pt] \dfrac{1}{12}\, e^{-\frac{x}{12}}, \text{ если } x > 0. \end{cases}\]
б) Пешеход только что пропустил попутку, но на распределении времени ожидания следующей это никак не сказывается: показательное распределение «не помнит», что было раньше. Ждать не более 10 мин — это событие \(T \leqslant 10\), и его вероятность равна \[\mathrm{P}(T \leqslant 10) = 1 - e^{-\frac{10}{12}} = 1 - e^{-\frac{5}{6}} \approx 0{,}565.\]
Ответ: а) \(p(x) = 0\), если \(x \leqslant 0\), и \(p(x) = \frac{1}{12} e^{-\frac{x}{12}}\), если \(x > 0\); б) \(1 - e^{-\frac{5}{6}} \approx 0{,}565\).
