Страница 249 номер 501, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(X\) — ошибка взвешивания младенца, г
\(m = 0\) г
\(\sigma = 10\) г

Найти: вероятность того, что ошибка взвешивания превышает: а) 20 г; б) 30 г.

Решение:

Ошибка взвешивания распределена нормально с математическим ожиданием \(m = 0\) г и стандартным отклонением \(\sigma = 10\) г. Перейдём к стандартной величине

\[Z = \frac{X - m}{\sigma} = \frac{X}{10}.\]

Ошибка может быть и в большую, и в меньшую сторону, поэтому «ошибка превышает 20 г» — это событие \(|X| > 20\), а «ошибка превышает 30 г» — событие \(|X| > 30\). Каждое из них противоположно попаданию ошибки в симметричный отрезок: \(-20 \leqslant X \leqslant 20\) и \(-30 \leqslant X \leqslant 30\) соответственно.

а) Событие \(|X| \leqslant 20\) превращается в событие \(|Z| \leqslant 2\), то есть \(-2 \leqslant Z \leqslant 2\):

\[\mathrm{P}(-2 \leqslant Z \leqslant 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544.\]

Значит, \(\mathrm{P}(|X| > 20) = 1 - 0{,}9544 = 0{,}0456 \approx 0{,}046\).

б) Событие \(|X| \leqslant 30\) превращается в событие \(-3 \leqslant Z \leqslant 3\):

\[\mathrm{P}(-3 \leqslant Z \leqslant 3) = \Phi(3) - \Phi(-3) = 0{,}9987 - 0{,}0013 = 0{,}9974.\]

Значит, \(\mathrm{P}(|X| > 30) = 1 - 0{,}9974 = 0{,}0026 \approx 0{,}003\).

Ответ: а) \(\approx 0{,}046\); б) \(\approx 0{,}003\).