Страница 233 номер 481, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\), конкретных чисел в условии нет, решение ведём в общем виде: \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\), \(\mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}\), плотность равна \(\frac{1}{b-a}\). Стандартное отклонение равно \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt{3}}.\]
а) Событию \(|X - \mathrm{E}X| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X}\) отвечает отрезок с серединой в точке \(\mathrm{E}X\) и длиной \(2\sqrt{\mathrm{D}X} = 2 \cdot \frac{b-a}{2\sqrt{3}} = \frac{b-a}{\sqrt{3}}\).
Так как \(\sqrt{3} > 1\), эта длина меньше, чем \(b - a\), а середина у обоих отрезков общая, поэтому найденный отрезок лежит внутри отрезка \([a;\ b]\), и его длину можно умножать на плотность: \[\mathrm{P}\left(|X - \mathrm{E}X| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X}\right) = \frac{b-a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{b-a} = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]
б) Событию \(|X - \mathrm{E}X| \leqslant 2\sqrt{\mathrm{D}X}\) отвечает отрезок с той же серединой и длиной \(4\sqrt{\mathrm{D}X} = 4 \cdot \frac{b-a}{2\sqrt{3}} = \frac{2(b-a)}{\sqrt{3}}\).
Так как \(2 > \sqrt{3}\), эта длина больше, чем \(b - a\): теперь, наоборот, весь отрезок \([a;\ b]\) лежит внутри него, и событие происходит при любом значении величины \(X\). Умножать длину на плотность нельзя — за пределами отрезка \([a;\ b]\) плотность равна нулю: \[\mathrm{P}\left(|X - \mathrm{E}X| \leqslant 2\sqrt{\mathrm{D}X}\right) = 1.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); б) 1.
Пусть случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([a;\ b]\). Конкретные числа в условии не даны, поэтому вести решение будем в общем виде.
Математическое ожидание равно середине отрезка, \(\mathrm{E}X = \frac{a+b}{2}\), а дисперсия равна \(\mathrm{D}X = \frac{(b-a)^2}{12}\). Стандартное отклонение — это корень из дисперсии: \[\sqrt{\mathrm{D}X} = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt{3}}.\]
Плотность постоянна и равна \(\frac{1}{b-a}\), поэтому вероятность равна длине той части отрезка \([a;\ b]\), которая событию отвечает, умноженной на \(\frac{1}{b-a}\).
а) Отклонение не более чем на одно стандартное отклонение — это событие \(|X - \mathrm{E}X| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X}\). Ему отвечает отрезок с серединой в точке \(\mathrm{E}X\) и длиной \[2\sqrt{\mathrm{D}X} = 2 \cdot \frac{b-a}{2\sqrt{3}} = \frac{b-a}{\sqrt{3}}.\]
Так как \(\sqrt{3} > 1\), эта длина меньше, чем \(b - a\). Середина у этого отрезка та же, что у отрезка \([a;\ b]\), поэтому он целиком лежит внутри \([a;\ b]\), и его длину можно сразу умножать на плотность: \[\mathrm{P}\left(|X - \mathrm{E}X| \leqslant \sqrt{\mathrm{D}X}\right) = \frac{b-a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{b-a} = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]
б) Отклонение не более чем на два стандартных отклонения — это событие \(|X - \mathrm{E}X| \leqslant 2\sqrt{\mathrm{D}X}\). Ему отвечает отрезок с той же серединой и длиной \[4\sqrt{\mathrm{D}X} = 4 \cdot \frac{b-a}{2\sqrt{3}} = \frac{2(b-a)}{\sqrt{3}}.\]
Так как \(2 > \sqrt{3}\), эта длина больше, чем \(b - a\). Значит, теперь наоборот: весь отрезок \([a;\ b]\) лежит внутри него, и событие происходит при любом значении величины \(X\). Вероятность равна 1; умножать длину на плотность здесь нельзя — за пределами отрезка \([a;\ b]\) плотность равна нулю, и лишняя часть длины вероятности не добавляет: \[\mathrm{P}\left(|X - \mathrm{E}X| \leqslant 2\sqrt{\mathrm{D}X}\right) = 1.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); б) 1.
