Вопросы после параграфа §52 на странице 249, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава XI. Непрерывные случайные величины. §52. Использование нормального распределения для описания случайной изменчивости и центральная предельная теорема. Страница 249, вопросы после параграфа §52

Решение:

1. Какая универсальная единица используется для измерения отклонения случайной величины от своего математического ожидания?

Такая единица — стандартное отклонение самой этой величины: отклонение измеряют не в граммах, миллиметрах или рублях, а в стандартных отклонениях — говорят, что значение отличается от среднего на одно стандартное отклонение, на два, на три.

Единица универсальна, потому что для нормальной величины \(X\) с математическим ожиданием \(m\) и стандартным отклонением \(\sigma\) вероятности таких отклонений одни и те же, каковы бы ни были \(m\) и \(\sigma\): \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant \sigma) \approx 0{,}683,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 2\sigma) \approx 0{,}955,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 3\sigma) \approx 0{,}997.\]

Например, при среднем объёме молока в бутылке 950 мл и стандартном отклонении 10 мл отклонение на 20 мл — это два стандартных отклонения, и за границы 930 мл и 970 мл объём выходит примерно в 45 случаях из тысячи. За пределы трёх стандартных отклонений нормальная величина выходит с вероятностью около \(0{,}003\).

Ответ: Универсальная единица измерения отклонения — стандартное отклонение самой этой случайной величины.

2. Приведите примеры величин, изменчивость которых приблизительно следует нормальному закону.

Рост взрослого человека в большой группе людей одного пола и возраста: на рост влияют наследственность, качество питания, условия и образ жизни, заболевания в период роста, и каждая причина добавляет или отнимает понемногу.

Размеры животных или растений одного вида — длина листа, масса плода, размах крыльев.

Масса или размер изделия при серийном производстве — масса пакета сахарного песка, объём молока в бутылке, длина гвоздя: отклонения от номинала складываются из износа оборудования, колебаний температуры, неоднородности сырья.

Результаты измерений и ошибки измерений: ошибка складывается из множества мелких независимых погрешностей.

Причина у всех одна: если величина формируется под действием большого числа факторов, каждый из которых влияет понемногу и слабо зависит от остальных, её распределение близко к нормальному — и тем ближе, чем больше факторов и слабее зависимости между ними.

Ответ: Рост человека; размеры животных или растений одного вида; масса и размеры продукции при серийном производстве; результаты и ошибки измерений — каждая из этих величин складывается под действием большого числа мелких и почти независимых факторов, а потому распределена приблизительно нормально.

3. Как графически выражается близость биномиального распределения и нормального распределения?

Столбчатая диаграмма биномиального распределения и наложенный на неё график нормальной плотности почти совпадают: кривая плавно проходит по верхним краям столбиков.

Чтобы кривая отвечала диаграмме, у нормального распределения берут то же среднее и ту же дисперсию, что у биномиального: \(m = np\) и \(\sigma^2 = npq\).

Для распределения \(Bi(20;\ 0{,}4)\) получается \(m = 20 \cdot 0{,}4 = 8\) и \(\sigma^2 = 20 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 4{,}8\); наибольший столбик стоит при \(k = 8\), там же вершина кривой.

Для распределения \(Bi(100;\ 0{,}4)\) получается \(m = 40\) и \(\sigma^2 = 24\), и кривая описывает диаграмму ещё точнее.

Значит, чем больше число испытаний, тем ближе верхние края столбиков к кривой нормальной плотности; сходство тем лучше, чем ближе вероятность успеха \(p\) к \(\frac{1}{2}\).

Ответ: Столбчатая диаграмма биномиального распределения и график плотности нормального распределения с \(m = np\) и \(\sigma^2 = npq\) почти совпадают: кривая проходит по верхним краям столбиков, и тем точнее, чем больше число испытаний.

Решение:

Такая единица — стандартное отклонение самой этой величины. Отклонение измеряют не в граммах, миллиметрах или рублях, а в стандартных отклонениях: говорят, что значение отличается от среднего на одно стандартное отклонение, на два, на три.

Единица эта универсальна, потому что для нормально распределённой величины вероятности таких отклонений одни и те же, каковы бы ни были математическое ожидание и стандартное отклонение:

\[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant \sigma) \approx 0{,}683,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 2\sigma) \approx 0{,}955,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 3\sigma) \approx 0{,}997.\]

Например, если средний объём молока в бутылке равен 950 мл при стандартном отклонении 10 мл, то отклонение на 20 мл — это два стандартных отклонения, и объём выходит за границы 930 мл и 970 мл примерно в 45 случаях из тысячи. За пределы трёх стандартных отклонений нормальная величина выходит с вероятностью около \(0{,}003\) — такое событие маловероятно.

2. Приведите примеры величин, изменчивость которых приблизительно следует нормальному закону.

Вот такие величины.

Рост взрослого человека в большой группе людей одного пола и возраста. На рост влияет множество причин: наследственность, качество и состав питания, условия и образ жизни, заболевания в период роста. Каждая из них добавляет или отнимает понемногу, и ни одна не решает дела в одиночку.

Размеры животных или растений одного вида — длина листа, масса плода, размах крыльев: причины те же, что и у роста.

Масса или размер изделия при серийном производстве — масса пакета сахарного песка, объём молока в бутылке, длина гвоздя. Отклонения от номинала складываются из множества мелких причин: износа оборудования, колебаний температуры, неоднородности сырья.

Результаты измерений и ошибки измерений — показания прибора при повторных измерениях одной и той же величины. Ошибка складывается из множества мелких независимых погрешностей.

Общая причина одна и та же: если случайная величина формируется под действием большого числа факторов, каждый из которых влияет понемногу и не зависит или слабо зависит от остальных, то распределение этой величины близко к нормальному. Чем больше факторов и чем слабее зависимости между ними, тем больше сходство.

3. Как графически выражается близость биномиального распределения и нормального распределения?

Близость выражается так: столбчатая диаграмма биномиального распределения и график нормальной плотности, наложенный на неё, почти совпадают — кривая плавно проходит по верхним краям столбиков.

Например, для распределения \(Bi(20;\ 0{,}4)\) получается \(m = 20 \cdot 0{,}4 = 8\) и \(\sigma^2 = 20 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 4{,}8\); наибольший столбик диаграммы стоит при \(k = 8\), там же находится вершина кривой, и форма кривой довольно точно повторяет форму диаграммы. Для распределения \(Bi(100;\ 0{,}4)\) получается \(m = 40\) и \(\sigma^2 = 24\), и кривая описывает диаграмму ещё точнее.