Страница 244 номер 495, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайная величина \(X\) распределена по нормальному закону \(N(-1,\ 9)\): её математическое ожидание \(m = -1\), дисперсия \(\sigma^2 = 9\), поэтому стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{9} = 3\). Перейдём к стандартной величине

\[Z = \frac{X - m}{\sigma} = \frac{X + 1}{3}.\]

Вероятности находим по таблице значений функции \(\Phi(x) = \mathrm{P}(Z < x)\). Шаг таблицы равен \(0{,}05\); если нужного аргумента в ней нет, значение находим линейной интерполяцией между соседними узлами, причём больший вес получает значение в ближнем узле.

а) Событие \(-2 \leqslant X\) превращается в событие \(Z \geqslant \frac{-2 + 1}{3} = -\frac{1}{3}\), а оно противоположно событию \(Z < -\frac{1}{3}\).

Число \(-\frac{1}{3}\) лежит между узлами \(-0{,}35\) и \(-0{,}30\), отступая от левого узла на треть шага, поэтому ближний узел \(-0{,}35\) получает вес 2, а дальний \(-0{,}30\) — вес 1:

\[\Phi\left(-\frac{1}{3}\right) \approx \frac{2 \cdot \Phi(-0{,}35) + \Phi(-0{,}30)}{3} = \frac{2 \cdot 0{,}3632 + 0{,}3821}{3} \approx 0{,}370.\]

Значит, \(\mathrm{P}(-2 \leqslant X) \approx 1 - 0{,}370 = 0{,}630\).

б) Событие \(0 \leqslant X \leqslant 2\) превращается в событие \(\frac{1}{3} \leqslant Z \leqslant 1\), потому что \(\frac{0 + 1}{3} = \frac{1}{3}\) и \(\frac{2 + 1}{3} = 1\).

Узел \(1{,}00\) в таблице есть: \(\Phi(1) = 0{,}8413\). Число \(\frac{1}{3}\) лежит между узлами \(0{,}30\) и \(0{,}35\) ближе к правому:

\[\Phi\left(\frac{1}{3}\right) \approx \frac{\Phi(0{,}30) + 2 \cdot \Phi(0{,}35)}{3} = \frac{0{,}6179 + 2 \cdot 0{,}6368}{3} \approx 0{,}6305.\]

Значит, \(\mathrm{P}(0 \leqslant X \leqslant 2) \approx 0{,}8413 - 0{,}6305 = 0{,}2108 \approx 0{,}211\).

в) Неравенство \(|X| \leqslant 1{,}5\) означает, что \(-1{,}5 \leqslant X \leqslant 1{,}5\). Границы в единицах стандартного отклонения: \(\frac{-1{,}5 + 1}{3} = -\frac{1}{6}\) и \(\frac{1{,}5 + 1}{3} = \frac{5}{6}\), то есть событие превращается в \(-\frac{1}{6} \leqslant Z \leqslant \frac{5}{6}\).

Оба числа лежат между узлами таблицы ближе к правому узлу:

\[\Phi\left(-\frac{1}{6}\right) \approx \frac{\Phi(-0{,}20) + 2 \cdot \Phi(-0{,}15)}{3} = \frac{0{,}4207 + 2 \cdot 0{,}4404}{3} \approx 0{,}4338,\] \[\Phi\left(\frac{5}{6}\right) \approx \frac{\Phi(0{,}80) + 2 \cdot \Phi(0{,}85)}{3} = \frac{0{,}7881 + 2 \cdot 0{,}8023}{3} \approx 0{,}7976.\]

Значит, \(\mathrm{P}(|X| \leqslant 1{,}5) \approx 0{,}7976 - 0{,}4338 = 0{,}3638 \approx 0{,}364\).

г) Событие \(-1{,}2 \leqslant X \leqslant 0\) превращается в событие \(-\frac{1}{15} \leqslant Z \leqslant \frac{1}{3}\), потому что \(\frac{-1{,}2 + 1}{3} = -\frac{0{,}2}{3} = -\frac{1}{15}\) и \(\frac{0 + 1}{3} = \frac{1}{3}\).

Число \(-\frac{1}{15}\) лежит между узлами \(-0{,}10\) и \(-0{,}05\) ближе к правому:

\[\Phi\left(-\frac{1}{15}\right) \approx \frac{\Phi(-0{,}10) + 2 \cdot \Phi(-0{,}05)}{3} = \frac{0{,}4602 + 2 \cdot 0{,}4801}{3} \approx 0{,}4735.\]

Значение \(\Phi\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0{,}6305\) уже найдено, поэтому \(\mathrm{P}(-1{,}2 \leqslant X \leqslant 0) \approx 0{,}6305 - 0{,}4735 = 0{,}1570 \approx 0{,}157\).

Ответ: а) \(\approx 0{,}630\); б) \(\approx 0{,}211\); в) \(\approx 0{,}364\); г) \(\approx 0{,}157\).