Вопросы после параграфа §51 на странице 243, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

У случайной величины \(X\), распределённой по нормальному закону, есть математическое ожидание и дисперсия, и для них приняты особые обозначения: \(\mathrm{E}X = m\) и \(\mathrm{D}X = \sigma^2\). Само распределение с этими параметрами обозначают \(N(m,\ \sigma^2)\).

Значит, первый параметр — это математическое ожидание величины, а второй — её дисперсия. На графике функции плотности они видны так.

Параметр \(m\) задаёт положение графика: кривая плотности симметрична относительно вертикальной прямой \(x = m\), и математическое ожидание определяет сдвиг графика по оси абсцисс. Например, у величин с распределениями \(N(0,\ 1)\) и \(N(5,\ 1)\) кривые плотности одинаковы по форме, вторая просто сдвинута на 5 единиц вправо.

Параметр \(\sigma^2\) задаёт форму графика: чем меньше дисперсия, тем выше вершина, тем круче склоны кривой и тем сильнее вероятность концентрируется вблизи \(m\). Так, у величин с распределениями \(N(0,\ 1)\) и \(N(0,\ 9)\) общая ось симметрии, но вторая кривая ниже и шире первой — значения второй величины разбросаны сильнее.

Ответ: Параметр \(m\) — это математическое ожидание величины; он задаёт сдвиг графика плотности по оси абсцисс, кривая симметрична относительно прямой \(x = m\). Параметр \(\sigma^2\) — это дисперсия; от неё зависит форма кривой: чем меньше дисперсия, тем выше вершина, круче склоны и теснее значения группируются около \(m\).

Запись читается так: случайная величина \(Z\) распределена по нормальному закону с параметрами \(m = 0\) и \(\sigma^2 = 1\), то есть имеет стандартное нормальное распределение.

Подробно это значит следующее. Величина \(Z\) нормальная, её математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице: \(\mathrm{E}Z = 0\) и \(\mathrm{D}Z = 1\). Функция плотности такой величины — чётная функция \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}}\), поэтому её график симметричен относительно оси \(Oy\), а вершина стоит над нулём и имеет высоту \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}39894\).

Буквой \(Z\) стандартную нормальную величину обозначают по традиции, и это обозначение удобно: любую нормальную величину \(X\) с распределением \(N(m,\ \sigma^2)\) сводят к \(Z\) линейным преобразованием \(Z = \frac{X - m}{\sigma}\), после чего вероятности находят по одной-единственной таблице значений функции \(\Phi(x) = \mathrm{P}(Z < x)\).

Ответ: Запись означает, что случайная величина \(Z\) имеет стандартное нормальное распределение, то есть нормальное распределение с математическим ожиданием \(m = 0\) и дисперсией \(\sigma^2 = 1\).

Осью симметрии служит вертикальная прямая \(x = m\).

Довод виден прямо из формулы: переменная \(x\) входит в неё только через выражение \((x - m)^2\). Возьмём любое число \(t\) и сравним значения плотности в точках \(m - t\) и \(m + t\). Для первой точки \((m - t - m)^2 = t^2\), для второй \((m + t - m)^2 = t^2\) — выражения одинаковы, поэтому одинаковы и значения функции:

\[f(m - t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} = f(m + t).\]

Значит, точки графика с абсциссами \(m - t\) и \(m + t\) расположены на одной высоте при любом \(t\), а такие две точки симметричны относительно прямой \(x = m\). Вершина кривой стоит над точкой \(x = m\): показатель степени здесь равен нулю и значение плотности наибольшее.

У стандартного нормального распределения \(m = 0\), и прямая \(x = 0\) — это ось \(Oy\); именно поэтому график стандартной нормальной плотности симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Вертикальная прямая \(x = m\), проходящая через вершину кривой; при \(m = 0\) это ось \(Oy\).