Страница 254 номер 505, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(X\) — число вызовов в пожарную часть за сутки
\(X\) имеет распределение Пуассона
\(\lambda = 3\) вызова в сутки
Найти: \(\mathrm{P}(X = 5)\), \(\mathrm{P}(X \leqslant 5)\) и \(\mathrm{P}(2 \leqslant X \leqslant 5)\).
Решение:
Единица времени здесь — сутки, пересчитывать параметр не нужно: \(\lambda = 3\).
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{3^k}{k!}e^{-3},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) \[\mathrm{P}(X = 5) = \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}101.\]
б) «Не более 5 вызовов» — это \(X \leqslant 5\): шесть несовместных значений от 0 до 5, вероятности складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 5) = \frac{3^0}{0!}e^{-3} + \frac{3^1}{1!}e^{-3} + {} \\ &+ \frac{3^2}{2!}e^{-3} + \ldots + \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}916. \end{aligned}\]
в) «От 2 до 5 вызовов» — это \(2 \leqslant X \leqslant 5\), оба конца включены, здесь четыре слагаемых:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(2 \leqslant X \leqslant 5) = \frac{3^2}{2!}e^{-3} + \frac{3^3}{3!}e^{-3} + {} \\ &+ \frac{3^4}{4!}e^{-3} + \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}717. \end{aligned}\]
Ответ: а) вероятность того, что за сутки поступит ровно 5 вызовов, — \(0{,}101\); б) вероятность того, что поступит не более 5 вызовов, — \(0{,}916\); в) вероятность того, что поступит от 2 до 5 вызовов, — \(0{,}717\).
Дано:
\(X\) — число вызовов в пожарную часть за сутки
\(X\) имеет распределение Пуассона
\(\lambda = 3\) вызова в сутки
Найти: \(\mathrm{P}(X = 5)\), \(\mathrm{P}(X \leqslant 5)\) и \(\mathrm{P}(2 \leqslant X \leqslant 5)\).
Решение:
Летом в будни в городскую пожарную часть поступает в среднем три вызова за сутки. Вызовы приходят по одному, в случайные моменты времени и независимо друг от друга, а их среднее число одинаково для каждых суток. Значит, случайная величина \(X\) «число вызовов за сутки» имеет распределение Пуассона. Единица времени здесь — сутки, и пересчитывать параметр не нужно: \(\lambda = 3\). Поэтому
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{3^k}{k!}e^{-3},\quad k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\]
а) За сутки поступит ровно 5 вызовов — это значение \(k = 5\):
\[\mathrm{P}(X = 5) = \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}101.\]
б) «Не более 5 вызовов» — это неравенство \(X \leqslant 5\), то есть одно из шести значений \(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\). Вероятности этих несовместных значений складываются:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X \leqslant 5) = \frac{3^0}{0!}e^{-3} + \frac{3^1}{1!}e^{-3} + {} \\ &+ \frac{3^2}{2!}e^{-3} + \ldots + \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}916. \end{aligned}\]
Сумму из шести слагаемых удобно получить в электронной таблице функцией ПУАССОН.РАСП с последним аргументом 1 — тогда она сама складывает вероятности всех значений от 0 до 5.
в) «От 2 до 5 вызовов» — это неравенство \(2 \leqslant X \leqslant 5\), оба конца включены. Здесь четыре слагаемых:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(2 \leqslant X \leqslant 5) = \frac{3^2}{2!}e^{-3} + \frac{3^3}{3!}e^{-3} + {} \\ &+ \frac{3^4}{4!}e^{-3} + \frac{3^5}{5!}e^{-3} \approx 0{,}717. \end{aligned}\]
Ответ: а) вероятность того, что за сутки поступит ровно 5 вызовов, — \(0{,}101\); б) вероятность того, что поступит не более 5 вызовов, — \(0{,}916\); в) вероятность того, что поступит от 2 до 5 вызовов, — \(0{,}717\).
