Страница 249 номер 499, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) — нормально распределённая величина, \(m\) — её математическое ожидание, \(\sigma\) — стандартное отклонение. Вероятности отклонений одни и те же для любой нормальной величины: \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant \sigma) \approx 0{,}683,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 2\sigma) \approx 0{,}955,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 3\sigma) \approx 0{,}997.\]
Отклонение «в ту или иную сторону более чем» на столько-то стандартных отклонений — событие, противоположное каждому из выписанных: величина выходит за границы промежутка в обе стороны. Поэтому каждую вероятность вычитаем из единицы.
а) \[\mathrm{P}(|X - m| > \sigma) \approx 1 - 0{,}683 = 0{,}317.\]
б) \[\mathrm{P}(|X - m| > 2\sigma) \approx 1 - 0{,}955 = 0{,}045.\]
в) \[\mathrm{P}(|X - m| > 3\sigma) \approx 1 - 0{,}997 = 0{,}003.\]
Ответ: а) \(\approx 0{,}317\); б) \(\approx 0{,}045\); в) \(\approx 0{,}003\).
Пусть \(X\) — случайная величина, распределённая по нормальному закону, \(m\) — её математическое ожидание, \(\sigma\) — стандартное отклонение.
Отклонения нормальной величины от своего среднего измеряют в стандартных отклонениях, и вероятности таких отклонений одни и те же для любой нормальной величины:
\[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant \sigma) \approx 0{,}683,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 2\sigma) \approx 0{,}955,\] \[\mathrm{P}(|X - m| \leqslant 3\sigma) \approx 0{,}997.\]
Спрошено отклонение «в ту или иную сторону более чем» на столько-то стандартных отклонений — это событие, противоположное каждому из выписанных: величина выходит за границы промежутка сразу в обе стороны, и левый «хвост» учитывается наравне с правым. Поэтому каждую вероятность вычитаем из единицы.
а) \[\mathrm{P}(|X - m| > \sigma) \approx 1 - 0{,}683 = 0{,}317.\]
б) \[\mathrm{P}(|X - m| > 2\sigma) \approx 1 - 0{,}955 = 0{,}045.\]
в) \[\mathrm{P}(|X - m| > 3\sigma) \approx 1 - 0{,}997 = 0{,}003.\]
Отклонение больше чем на три стандартных отклонения случается примерно три раза на тысячу — такое событие маловероятно.
Ответ: а) \(\approx 0{,}317\); б) \(\approx 0{,}045\); в) \(\approx 0{,}003\).
