Страница 224 номер 809, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что если сумма \(n\) первых членов последовательности вычисляется по формуле \(S_n = n^2 - 3n\), то эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
\(S_{n} = n^{2} - 3n\)
Первый способ решения
Первый член прогрессии \(a_{1} = S_{1} = 1^{2} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = - 2\)
\(a_{2} = S_{2} - a_{1} = 2^{2} - 3 \cdot 2 - ( - 2) = 4 - 6 + 2 = 0\)
\(a_{3} = S_{3} - S_{2} = 3^{2} - 3 \cdot 3 - 2^{2} + 3 \cdot 2 = 2\)
Разность прогрессии \(d = a_{2} - a_{1} = 0 - ( - 2) = 2\)
Этим способом найдены только \(a_{1}\) и \(d\), доказательство – во втором способе.
Второй способ решения
\(a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}\) при \(n \geqslant 2\)
\(a_{n} = n^{2} - 3n - (n - 1)^{2} + 3(n - 1) =\)
\(= n^{2} - 3n - n^{2} + 2n - 1 + 3n - 3 =\)
\(= 2n - 4\)
\(d = a_{n} - a_{n - 1} = 2n - 4 - 2(n - 1) + 4 = 2n - 2n + 2 = 2\)
\(a_{1} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2\)
\(a_{1} = S_{1} = 1^{2} - 3 \cdot 1 = - 2\), т.е. формула \(a_{n} = 2n - 4\) верна и при \(n = 1\).
Разность \(a_{n} - a_{n - 1}\) не зависит от \(n\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: \(a_{1} = - 2;\ d = 2\).
