Страница 224 номер 816, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

\(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} = x^{2} + 1 + y^{2} + 1\)

Сделаем замену \(\sqrt{x^{2} + 1} = a \geqslant 0;\sqrt{y^{2} + 1} = b \geqslant 0\)

\(a + b = a^{2} + b^{2}\)

Вероятные решения уравнения \((0;\ 0),(0;\ 1);\ (1;\ 0);\ (1;\ 1)\)

Проверим все пары

\((0;\ 0) \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x^{2} + 1} = 0 \\ \sqrt{y^{2} + 1} = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + 1 = 0 \\ y^{2} + 1 = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \text{нет решения}\)
\((0;\ 1) \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x^{2} + 1} = 0 \\ \sqrt{y^{2} + 1} = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + 1 = 0 \\ y^{2} + 1 = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \text{нет решения} \\ y = 0 \end{cases}\)
\((1;\ 0) \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x^{2} + 1} = 1 \\ \sqrt{y^{2} + 1} = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + 1 = 1 \\ y^{2} + 1 = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ \text{нет решения} \end{cases}\)
\((1;\ 1) \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x^{2} + 1} = 1 \\ \sqrt{y^{2} + 1} = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + 1 = 1 \\ y^{2} + 1 = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} = 0 \\ y^{2} = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}\)

Другие пары \((a;\ b)\) не подходят: \(x^{2} + 1 \geqslant 1\) и \(y^{2} + 1 \geqslant 1\), поэтому \(a \geqslant 1\) и \(b \geqslant 1\), тогда \(a^{2} \geqslant a\) и \(b^{2} \geqslant b\), и равенство \(a + b = a^{2} + b^{2}\) возможно, только если \(a^{2} = a\) и \(b^{2} = b\), т.е. при \(a = 1\) и \(b = 1\).

Ответ: \(x = 0;\ y = 0\).