Страница 224 номер 808, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
(Задача Гипсикла Александрийского¹.) Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.
Имеем прогрессию с четным количеством членов, т.е. \(2n\).
Сумма первой половины меньше второй на число, кратное \(\left( \frac{2n}{2} \right)^{2} = n^{2}\)
\(S_{n} = \dfrac{2a_{1} + d(n - 1)}{2}n\)
\(S_{2n} = \dfrac{2a_{1} + d(2n - 1)}{2} \cdot 2n\)
Сумма второй половины (членов с \((n + 1)\)-го по \(2n\)-й) равна \(S_{2n} - S_{n}\)
\(S_{n} - \left( S_{2n} - S_{n} \right) = S_{n} - S_{2n} + S_{n} = 2S_{n} - S_{2n}\)
\(2 \cdot \dfrac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n - \dfrac{2a_{1} + d(2n - 1)}{2} \cdot 2n =\)
\(= 2a_{1}n + dn(n - 1) - 2a_{1}n - dn(2n - 1) =\)
\(= 2a_{1}n + dn^{2} - dn - 2a_{1}n - 2dn^{2} + dn =\)
\(= dn^{2} - 2dn^{2} = - d \cdot n^{2}\)
Все члены прогрессии – целые числа, поэтому \(d = a_{2} - a_{1}\) тоже целое число.
Разность двух сумм кратна \(n^{2}\), утверждение доказано.
