Вопросы после параграфа §24 на странице 229, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Первый член прогрессии и это число не равны нулю.

Например, в последовательности \(2, 6, 18, 54, 162, \ldots\) первый член равен 2, а каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3: \(6 = 2 \cdot 3\), \(18 = 6 \cdot 3\), \(54 = 18 \cdot 3\), \(162 = 54 \cdot 3\). Значит, это геометрическая прогрессия.

Последовательность \(2, 4, 6, 8, \ldots\) геометрической прогрессией не является: \(4 = 2 \cdot 2\), а \(6 = 4 \cdot 1{,}5\) — множители разные. Не является ею и последовательность \(0, 0, 0, \ldots\), так как её первый член равен нулю.

Ответ: геометрической прогрессией называют последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число и называют знаменателем геометрической прогрессии; его обозначают буквой \(q\). Чтобы найти знаменатель, любой член прогрессии, начиная со второго, делят на предыдущий член.

Если \((b_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\), то для любого натурального \(n\) выполняются равенства:

\(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q;\)
\(b_{n+1} = b_n q.\)

Например, знаменатель прогрессии \(2, 6, 18, 54, \ldots\) равен 3:

\(q = \dfrac{6}{2} = \dfrac{18}{6} = \dfrac{54}{18} = 3.\)

Знаменатель не может быть равен нулю, но может быть отрицательным или дробным числом. Так, для прогрессии \(8, -4, 2, -1, \ldots\) получаем:

\(q = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac{1}{2}.\)

У прогрессии \(5, 5, 5, 5, \ldots\), все члены которой равны, знаменатель равен 1.

Ответ: знаменателем геометрической прогрессии называют число, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену; знаменатель обозначают буквой \(q\).

Пусть \((b_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\). Каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на \(q\):

\(b_2 = b_1 q;\)
\(b_3 = b_2 q = b_1 q \cdot q = b_1 q^2;\)
\(b_4 = b_3 q = b_1 q^2 \cdot q = b_1 q^3.\)

Второй член получен из первого одним умножением на \(q\), третий — двумя, четвёртый — тремя. При каждом умножении на \(q\) номер члена увеличивается на 1, поэтому, чтобы от первого члена дойти до члена с номером \(n\), умножить на \(q\) нужно \(n - 1\) раз. Значит, формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид

\(b_n = b_1 q^{n - 1}.\)

Чтобы найти член геометрической прогрессии, её первый член умножают на степень знаменателя с показателем, на 1 меньшим номера искомого члена.

Например, найдём шестой член геометрической прогрессии, у которой \(b_1 = 2\) и \(q = 3\):

\(b_6 = b_1 q^5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486.\)

Ответ: \(b_n = b_1 q^{n - 1}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — её знаменатель, \(n\) — номер члена.

Пусть \(b_{n-1}\), \(b_n\), \(b_{n+1}\) — три последовательных члена геометрической прогрессии. Отношение любого члена прогрессии, начиная со второго, к предыдущему члену равно её знаменателю, поэтому

\(\dfrac{b_n}{b_{n-1}} = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Отсюда по основному свойству пропорции:

\(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}.\)

Значит, квадрат среднего из трёх последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению двух крайних. Иначе говоря, квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен произведению двух соседних с ним членов.

Например, для первых трёх членов прогрессии \(2, 6, 18, 54, \ldots\) получаем: \(6^2 = 36\) и \(2 \cdot 18 = 36\).

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \(b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}\), то есть средний из трёх последовательных членов равен среднему геометрическому двух крайних: \(6 = \sqrt{2 \cdot 18}\). Если же член \(b_n\) отрицателен, то \(b_n = -\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}\): в прогрессии \(1, -2, 4, \ldots\) имеем \(-2 = -\sqrt{1 \cdot 4}\).

Ответ: квадрат среднего из трёх последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению двух крайних: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\).