Проверьте себя на страницах 60-61, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Проверьте себя (тест)
1. Найдите значение дроби \(\frac{ab}{a - b}\) при \(a = -1\), \(b = 0{,}5\).
2. Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.
А) \(\frac{x - 3}{x - 2}\) Б) \(\frac{x + 3}{x + 2}\) В) \(\frac{x - 2}{x + 3}\) Г) \(\frac{x + 2}{x - 3}\)
1) \(x \ne -3\) 2) \(x \ne -2\) 3) \(x \ne 2\) 4) \(x \ne 3\)
3. Сократите дробь \(\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2}\).
4. Сократите дробь \(\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2}\).
5. Укажите выражение, равное дроби \(\frac{a - b}{a - c}\).
1) \(\frac{b - a}{a - c}\) 2) \(\frac{a - b}{c - a}\) 3) \(-\frac{b - a}{c - a}\) 4) \(\frac{b - a}{c - a}\)
6. Найдите сумму дробей: \(\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3}\).
7. Представьте в виде дроби выражение \(\frac{2m^2}{m + 1} - 2m\).
8. Выполните деление: \(\frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x}\).
9. Упростите выражение \(\left( \frac{a}{a - b} - 1 \right) : \left( \frac{a}{a + b} - 1 \right)\).
10. Какое из выражений равно степени \(5^{-n}\)?
1) \(-\frac{1}{5^n}\) 2) \(\frac{1}{5^n}\) 3) \(-5^{-n}\) 4) \(-\frac{1}{5^{-n}}\)
11. На координатной прямой точкой отмечено число \(a\). Сравните числа \(a\) и \(a^{-1}\).
1) \(a < a^{-1}\) 2) \(a > a^{-1}\) 3) \(a = a^{-1}\) 4) невозможно сравнить
12. Миллиардные доли единиц обозначаются приставкой «нано-». Например, 1 нанометр \(= 10^{-9}\) м. Выразите эту величину в мм.
1) \(10^{-3}\) мм 2) \(10^{-7}\) мм 3) \(10^{-6}\) мм 4) \(10^{-12}\) мм
13. Укажите наименьшее из чисел.
1) \(1{,}2 \cdot 10^{-8}\) 2) \(5{,}6 \cdot 10^{-8}\) 3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\) 4) \(5{,}6 \cdot 10^{-9}\)
14. Сократите дробь \(\frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}}\).
15. Решите уравнение \(\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2}\).
16. Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе?
Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой \(x\) разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными.
Введённые обозначения:
А) \(x\) — число карандашей в маленькой коробке
Б) \(x\) — число карандашей в большой коробке
В) \(x\) — число карандашей на учительском столе
Уравнения:
1) \(\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6\)
2) \(5x = 3(x + 6)\)
3) \(3x = 5(x - 6)\)
Соотнесите введённое обозначение с уравнением.
\[\frac{ab}{a - b} = \frac{-1 \cdot 0{,}5}{-1 - 0{,}5} = \frac{-0{,}5}{-1{,}5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
А) \(x - 2 = 0\); \(x = 2\) — допустимы все числа, кроме 2: запись 3) \(x \ne 2\).
Б) \(x + 2 = 0\); \(x = -2\) — допустимы все числа, кроме \(-2\): запись 2) \(x \ne -2\).
В) \(x + 3 = 0\); \(x = -3\) — допустимы все числа, кроме \(-3\): запись 1) \(x \ne -3\).
Г) \(x - 3 = 0\); \(x = 3\) — допустимы все числа, кроме 3: запись 4) \(x \ne 3\).
Ответ: А3, Б2, В1, Г4.
\[\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2} = \frac{ab(a - 1)}{ab(a + b)} = \frac{a - 1}{a + b}.\]
Ответ: \(\frac{a - 1}{a + b}\).
\[\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2} = \frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)} = \frac{a + x}{x}.\]
Ответ: \(\frac{a + x}{x}\).
1) На противоположный заменён только числитель, знак перед дробью не поменян: \(\frac{b - a}{a - c} = -\frac{a - b}{a - c}\) — выражение, противоположное данной дроби.
2) На противоположный заменён только знаменатель, знак перед дробью не поменян: \(\frac{a - b}{c - a} = -\frac{a - b}{a - c}\) — снова выражение, противоположное данной дроби.
3) На противоположные заменены и числитель, и знаменатель, поэтому сама дробь равна данной, а со знаком «минус» перед ней получаем \(-\frac{b - a}{c - a} = -\frac{a - b}{a - c}\) — и здесь выражение, противоположное данной дроби.
4) На противоположные заменены и числитель, и знаменатель, знак перед дробью не поменян: \(\frac{b - a}{c - a} = \frac{a - b}{a - c}\) — это выражение равно данной дроби.
Ответ: 4) \(\frac{b - a}{c - a}\).
Общий знаменатель — \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\); дополнительные множители — \(x + 3\) и \(x - 3\):
\[\begin{aligned} &\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = {} \\ &= \frac{x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}\).
Дополнительный множитель для одночлена \(2m\) — \(m + 1\):
\[\begin{aligned} &\frac{2m^2}{m + 1} - 2m = \frac{2m^2 - 2m(m + 1)}{m + 1} = {} \\ &= \frac{2m^2 - 2m^2 - 2m}{m + 1} = \frac{-2m}{m + 1} = -\frac{2m}{m + 1}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-\frac{2m}{m + 1}\).
\[\begin{aligned} &\frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} = \frac{x^2 - y^2}{2x^2} \cdot \frac{x}{xy - y^2} = {} \\ &= \frac{(x - y)(x + y) \cdot x}{2x^2 \cdot y(x - y)} = \frac{x + y}{2xy}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{x + y}{2xy}\).
1) \(\frac{a}{a - b} - 1 = \frac{a - (a - b)}{a - b} = \frac{a - a + b}{a - b} = \frac{b}{a - b}\);
2) \(\frac{a}{a + b} - 1 = \frac{a - (a + b)}{a + b} = \frac{a - a - b}{a + b} = \frac{-b}{a + b}\);
3) \(\frac{b}{a - b} : \frac{-b}{a + b} = \frac{b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{-b} = \frac{b(a + b)}{-b(a - b)} = -\frac{a + b}{a - b}\).
Заменим знаменатель на противоположное выражение и поменяем знак перед дробью: \(-\frac{a + b}{a - b} = \frac{a + b}{b - a}\).
Ответ: \(\frac{a + b}{b - a}\).
\(5^{-n} = \frac{1}{5^n}\), и эта степень отлична от нуля, поэтому не равна противоположному ей числу.
1) \(-\frac{1}{5^n}\) противоположно степени \(5^{-n}\), а не равно ей.
2) Выражение \(\frac{1}{5^n}\) — это в точности степень \(5^{-n}\), значит, оно ей равно.
3) \(-5^{-n}\) противоположно степени \(5^{-n}\) и потому ей не равно.
4) Числа \(5^{-n}\) и \(5^n\) взаимно обратные, поэтому \(\frac{1}{5^{-n}} = 5^n\) и \(-\frac{1}{5^{-n}} = -5^n\) — число, противоположное \(5^n\), а не степень \(5^{-n}\).
Ответ: 2) \(\frac{1}{5^n}\).
Точка \(a\) левее числа \(-1\), значит, \(a < -1\): число \(a\) отрицательное, а противоположное ему число \(-a\) больше 1.
\(a^{-1} = \frac{1}{a} = -\frac{1}{-a}\) — у дроби \(\frac{1}{-a}\) числитель равен 1, а знаменатель больше 1, поэтому она положительна и меньше 1. Значит, число \(a^{-1}\) отрицательное и лежит между \(-1\) и 0.
Точка \(a^{-1}\) правее числа \(-1\), а точка \(a\) — левее, поэтому \(a < a^{-1}\) — верна запись 1).
Записи 2) \(a > a^{-1}\) и 3) \(a = a^{-1}\) неверны, а утверждение 4) неверно потому, что числа \(a\) и \(a^{-1}\) сравнить удалось.
Ответ: 1) \(a < a^{-1}\).
1 м \(= 10^3\) мм, поэтому 1 нанометр равен \(10^{-9} \cdot 10^3 = 10^{-9 + 3} = 10^{-6}\) мм.
Выразим каждую запись в метрах, считая, что 1 мм \(= 10^{-3}\) м:
1) \(10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-6}\) (м) — миллионная доля метра, а не миллиардная.
2) \(10^{-7} \cdot 10^{-3} = 10^{-10}\) (м).
3) \(10^{-6} \cdot 10^{-3} = 10^{-9}\) (м) — ровно 1 нанометр.
4) \(10^{-12} \cdot 10^{-3} = 10^{-15}\) (м).
Ответ: 3) \(10^{-6}\) мм.
Все четыре числа положительны; запишем их с одним и тем же множителем \(10^{-9}\) и сравним первые множители.
1) \(1{,}2 \cdot 10^{-8} = 12 \cdot 10^{-9}\).
2) \(5{,}6 \cdot 10^{-8} = 56 \cdot 10^{-9}\).
3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\) — первый множитель равен \(1{,}2\).
4) \(5{,}6 \cdot 10^{-9}\) — первый множитель равен \(5{,}6\).
Из чисел 12; 56; \(1{,}2\); \(5{,}6\) наименьшее — \(1{,}2\), поэтому наименьшее из данных чисел равно \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\).
Ответ: 3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\).
Вынесем в числителе общий множитель \(2^{n - 4}\):
\[\frac{2^n + 2^{n - 2}}{2^{n - 4}} = \frac{2^{n - 4}(2^4 + 2^2)}{2^{n - 4}} = 2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20.\]
Ответ: 20.
Умножим обе части уравнения на 10:
\[\begin{aligned} &10 \cdot \left( \frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} \right) = 10 \cdot \frac{1}{2}; \\ &5(x - 1) - 2x = 5; \\ &5x - 5 - 2x = 5; \\ &3x = 10; \\ &x = 3\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(x = 3\frac{1}{3}\).
Дано:
3 большие коробки — все карандаши поровну
5 маленьких коробок — все карандаши поровну
в маленькой коробке на 6 карандашей меньше, чем в большой
Найти: число карандашей на учительском столе.
Решение:
А) Пусть \(x\) — число карандашей в маленькой коробке. В пяти маленьких коробках \(5x\) карандашей, в большой коробке — \((x + 6)\), в трёх больших — \(3(x + 6)\); оба выражения дают число карандашей на столе, поэтому этому обозначению отвечает уравнение 2) \(5x = 3(x + 6)\).
Б) Пусть \(x\) — число карандашей в большой коробке. В трёх больших коробках \(3x\) карандашей, в маленькой коробке — \((x - 6)\), в пяти маленьких — \(5(x - 6)\); этому обозначению отвечает уравнение 3) \(3x = 5(x - 6)\).
В) Пусть \(x\) — число карандашей на учительском столе. В каждой большой коробке \(\frac{x}{3}\) карандашей, в каждой маленькой — \(\frac{x}{5}\), причём в маленькой на 6 меньше; этому обозначению отвечает уравнение 1) \(\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6\).
Решим последнее уравнение, умножив обе его части на 15:
\[\begin{aligned} &15 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{x}{5} \right) = 15 \cdot 6; \\ &5x - 3x = 90; \\ &2x = 90; \\ &x = 45. \end{aligned}\]
\(45 : 3 = 15\) (карандашей) — в большой коробке.
\(45 : 5 = 9\) (карандашей) — в маленькой, на 6 меньше, как и сказано в условии.
Ответ: на учительском столе 45 карандашей; А2, Б3, В1.
Проверьте себя (тест)
1. Найдите значение дроби \(\frac{ab}{a - b}\) при \(a = -1\), \(b = 0{,}5\).
2. Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.
А) \(\frac{x - 3}{x - 2}\) Б) \(\frac{x + 3}{x + 2}\) В) \(\frac{x - 2}{x + 3}\) Г) \(\frac{x + 2}{x - 3}\)
1) \(x \ne -3\) 2) \(x \ne -2\) 3) \(x \ne 2\) 4) \(x \ne 3\)
3. Сократите дробь \(\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2}\).
4. Сократите дробь \(\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2}\).
5. Укажите выражение, равное дроби \(\frac{a - b}{a - c}\).
1) \(\frac{b - a}{a - c}\) 2) \(\frac{a - b}{c - a}\) 3) \(-\frac{b - a}{c - a}\) 4) \(\frac{b - a}{c - a}\)
6. Найдите сумму дробей: \(\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3}\).
7. Представьте в виде дроби выражение \(\frac{2m^2}{m + 1} - 2m\).
8. Выполните деление: \(\frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x}\).
9. Упростите выражение \(\left( \frac{a}{a - b} - 1 \right) : \left( \frac{a}{a + b} - 1 \right)\).
10. Какое из выражений равно степени \(5^{-n}\)?
1) \(-\frac{1}{5^n}\) 2) \(\frac{1}{5^n}\) 3) \(-5^{-n}\) 4) \(-\frac{1}{5^{-n}}\)
11. На координатной прямой точкой отмечено число \(a\). Сравните числа \(a\) и \(a^{-1}\).
1) \(a < a^{-1}\) 2) \(a > a^{-1}\) 3) \(a = a^{-1}\) 4) невозможно сравнить
12. Миллиардные доли единиц обозначаются приставкой «нано-». Например, 1 нанометр \(= 10^{-9}\) м. Выразите эту величину в мм.
1) \(10^{-3}\) мм 2) \(10^{-7}\) мм 3) \(10^{-6}\) мм 4) \(10^{-12}\) мм
13. Укажите наименьшее из чисел.
1) \(1{,}2 \cdot 10^{-8}\) 2) \(5{,}6 \cdot 10^{-8}\) 3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\) 4) \(5{,}6 \cdot 10^{-9}\)
14. Сократите дробь \(\frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}}\).
15. Решите уравнение \(\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2}\).
16. Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе?
Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой \(x\) разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными.
Введённые обозначения:
А) \(x\) — число карандашей в маленькой коробке
Б) \(x\) — число карандашей в большой коробке
В) \(x\) — число карандашей на учительском столе
Уравнения:
1) \(\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6\)
2) \(5x = 3(x + 6)\)
3) \(3x = 5(x - 6)\)
Соотнесите введённое обозначение с уравнением.
При \(a = -1\) и \(b = 0{,}5\):
\[\frac{ab}{a - b} = \frac{-1 \cdot 0{,}5}{-1 - 0{,}5} = \frac{-0{,}5}{-1{,}5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Допустимы все значения переменной, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Чтобы найти такие значения, приравняем знаменатель каждой дроби к нулю и решим полученное уравнение.
А) \(x - 2 = 0\); \(x = 2\). Допустимы все числа, кроме 2, — этой дроби соответствует запись 3) \(x \ne 2\).
Б) \(x + 2 = 0\); \(x = -2\). Допустимы все числа, кроме \(-2\), — этой дроби соответствует запись 2) \(x \ne -2\).
В) \(x + 3 = 0\); \(x = -3\). Допустимы все числа, кроме \(-3\), — этой дроби соответствует запись 1) \(x \ne -3\).
Г) \(x - 3 = 0\); \(x = 3\). Допустимы все числа, кроме 3, — этой дроби соответствует запись 4) \(x \ne 3\).
Ответ: А3, Б2, В1, Г4.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на общий множитель \(ab\):
\[\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2} = \frac{ab(a - 1)}{ab(a + b)} = \frac{a - 1}{a + b}.\]
Дальнейшее сокращение дроби невозможно.
Ответ: \(\frac{a - 1}{a + b}\).
Числитель разложим на множители по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(x\), после чего сократим дробь на \(a - x\):
\[\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2} = \frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)} = \frac{a + x}{x}.\]
Дальнейшее сокращение дроби невозможно.
Ответ: \(\frac{a + x}{x}\).
Если и числитель, и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Если же на противоположное заменить только числитель или только знаменатель, то перед дробью надо поменять знак.
1) В дроби \(\frac{b - a}{a - c}\) на противоположный заменён только числитель, а знак перед дробью не поменян, поэтому \(\frac{b - a}{a - c} = -\frac{a - b}{a - c}\) — это выражение, противоположное данной дроби.
2) В дроби \(\frac{a - b}{c - a}\) на противоположный заменён только знаменатель, а знак перед дробью не поменян, поэтому \(\frac{a - b}{c - a} = -\frac{a - b}{a - c}\) — снова выражение, противоположное данной дроби.
3) В дроби \(\frac{b - a}{c - a}\) заменены на противоположные и числитель, и знаменатель, поэтому сама эта дробь равна данной, а со знаком «минус» перед ней получаем \(-\frac{b - a}{c - a} = -\frac{a - b}{a - c}\) — и здесь выражение, противоположное данной дроби.
4) В дроби \(\frac{b - a}{c - a}\) на противоположные заменены и числитель, и знаменатель, а знак перед дробью не поменян, поэтому \(\frac{b - a}{c - a} = \frac{a - b}{a - c}\) — это выражение равно данной дроби.
Ответ: 4) \(\frac{b - a}{c - a}\).
За общий знаменатель возьмём произведение знаменателей \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). Дополнительный множитель первой дроби — \(x + 3\), второй — \(x - 3\):
\[\begin{aligned} &\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = {} \\ &= \frac{x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}\).
Одночлен \(2m\) запишем в виде дроби со знаменателем 1 и приведём её к знаменателю \(m + 1\); дополнительный множитель этой дроби — \(m + 1\):
\[\begin{aligned} &\frac{2m^2}{m + 1} - 2m = \frac{2m^2 - 2m(m + 1)}{m + 1} = {} \\ &= \frac{2m^2 - 2m^2 - 2m}{m + 1} = \frac{-2m}{m + 1} = -\frac{2m}{m + 1}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-\frac{2m}{m + 1}\).
Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю, а числители и знаменатели разложим на множители:
\[\begin{aligned} &\frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} = \frac{x^2 - y^2}{2x^2} \cdot \frac{x}{xy - y^2} = {} \\ &= \frac{(x - y)(x + y) \cdot x}{2x^2 \cdot y(x - y)} = \frac{x + y}{2xy}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{x + y}{2xy}\).
Преобразование удобно выполнять по действиям:
1) \(\frac{a}{a - b} - 1 = \frac{a - (a - b)}{a - b} = \frac{a - a + b}{a - b} = \frac{b}{a - b}\);
2) \(\frac{a}{a + b} - 1 = \frac{a - (a + b)}{a + b} = \frac{a - a - b}{a + b} = \frac{-b}{a + b}\);
3) \(\frac{b}{a - b} : \frac{-b}{a + b} = \frac{b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{-b} = \frac{b(a + b)}{-b(a - b)} = -\frac{a + b}{a - b}\).
В полученной дроби заменим знаменатель на противоположное выражение и поменяем знак перед дробью: \(-\frac{a + b}{a - b} = \frac{a + b}{b - a}\).
Ответ: \(\frac{a + b}{b - a}\).
По определению степени с целым отрицательным показателем \(5^{-n} = \frac{1}{5^n}\). Эта степень отлична от нуля, поэтому не равна противоположному ей числу.
1) Выражение \(-\frac{1}{5^n}\) противоположно дроби \(\frac{1}{5^n}\), то есть противоположно степени \(5^{-n}\), а не равно ей.
2) Выражение \(\frac{1}{5^n}\) — это в точности то, что даёт определение степени с целым отрицательным показателем, значит, оно равно \(5^{-n}\).
3) Выражение \(-5^{-n}\) противоположно степени \(5^{-n}\) и потому ей не равно.
4) Числа \(5^{-n}\) и \(5^n\) взаимно обратные, поэтому \(\frac{1}{5^{-n}} = 5^n\), и выражение \(-\frac{1}{5^{-n}}\) равно \(-5^n\) — числу, противоположному \(5^n\), а не степени \(5^{-n}\).
Ответ: 2) \(\frac{1}{5^n}\).
Точка \(a\) отмечена на координатной прямой левее числа \(-1\), значит, \(a < -1\), то есть число \(a\) отрицательное, а противоположное ему число \(-a\) больше 1.
По определению степени с целым отрицательным показателем \(a^{-1} = \frac{1}{a}\), то есть \(a^{-1}\) — число, обратное числу \(a\). Заменим знаменатель этой дроби на противоположное выражение, поменяв знак перед дробью: \(a^{-1} = -\frac{1}{-a}\). У дроби \(\frac{1}{-a}\) числитель равен 1, а знаменатель больше 1, поэтому эта дробь положительна и меньше 1. Значит, при любом числе \(a\), меньшем \(-1\), число \(a^{-1}\) отрицательное и лежит между \(-1\) и 0.
На координатной прямой точка \(a^{-1}\) расположена правее числа \(-1\), а точка \(a\) — левее его, поэтому точка \(a^{-1}\) лежит правее точки \(a\). Из двух чисел больше то, точка которого лежит правее, поэтому \(a < a^{-1}\). Например, числу \(-4\) обратно число \(\frac{1}{-4} = -0{,}25\), и \(-4 < -0{,}25\).
Значит, верна первая запись; записи 2) \(a > a^{-1}\) и 3) \(a = a^{-1}\) неверны, а утверждение 4) о невозможности сравнения неверно потому, что числа \(a\) и \(a^{-1}\) сравнить удалось.
Ответ: 1) \(a < a^{-1}\).
В одном метре 1000 миллиметров, то есть 1 м \(= 10^3\) мм. Поэтому 1 нанометр равен \(10^{-9} \cdot 10^3 = 10^{-9 + 3} = 10^{-6}\) мм.
Каждую из предложенных записей можно выразить в метрах, считая, что 1 мм \(= 10^{-3}\) м.
1) \(10^{-3}\) мм — это \(10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-6}\) (м), то есть миллионная доля метра, а не миллиардная.
2) \(10^{-7}\) мм — это \(10^{-7} \cdot 10^{-3} = 10^{-10}\) (м).
3) \(10^{-6}\) мм — это \(10^{-6} \cdot 10^{-3} = 10^{-9}\) (м), то есть ровно 1 нанометр.
4) \(10^{-12}\) мм — это \(10^{-12} \cdot 10^{-3} = 10^{-15}\) (м).
Ответ: 3) \(10^{-6}\) мм.
Все четыре числа положительны. Запишем их так, чтобы у всех был один и тот же множитель \(10^{-9}\); тогда сравнение чисел сведётся к сравнению первых множителей.
1) \(1{,}2 \cdot 10^{-8} = 12 \cdot 10^{-9}\).
2) \(5{,}6 \cdot 10^{-8} = 56 \cdot 10^{-9}\).
3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\) — первый множитель равен \(1{,}2\).
4) \(5{,}6 \cdot 10^{-9}\) — первый множитель равен \(5{,}6\).
Из чисел 12; 56; \(1{,}2\); \(5{,}6\) наименьшее — \(1{,}2\), поэтому наименьшее из данных чисел равно \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\).
Ответ: 3) \(1{,}2 \cdot 10^{-9}\).
Вынесем в числителе общий множитель \(2^{n - 4}\): по свойству степени \(2^n = 2^{n - 4} \cdot 2^4\) и \(2^{n - 2} = 2^{n - 4} \cdot 2^2\). После этого сократим дробь на \(2^{n - 4}\):
\[\frac{2^n + 2^{n - 2}}{2^{n - 4}} = \frac{2^{n - 4}(2^4 + 2^2)}{2^{n - 4}} = 2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20.\]
Ответ: 20.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей — на 10:
\[\begin{aligned} &10 \cdot \left( \frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} \right) = 10 \cdot \frac{1}{2}; \\ &5(x - 1) - 2x = 5; \\ &5x - 5 - 2x = 5; \\ &3x = 10; \\ &x = 3\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(x = 3\frac{1}{3}\).
Дано:
3 большие коробки — все карандаши поровну
5 маленьких коробок — все карандаши поровну
в маленькой коробке на 6 карандашей меньше, чем в большой
Найти: число карандашей на учительском столе.
Решение:
А) Пусть \(x\) — число карандашей в маленькой коробке. Тогда в пяти маленьких коробках лежит \(5x\) карандашей — это все карандаши со стола. В большой коробке карандашей на 6 больше, то есть \((x + 6)\), и в трёх больших коробках лежит \(3(x + 6)\) карандашей — снова все карандаши со стола. Оба выражения дают число карандашей на столе, поэтому этому обозначению отвечает уравнение 2) \(5x = 3(x + 6)\).
Б) Пусть \(x\) — число карандашей в большой коробке. Тогда в трёх больших коробках лежит \(3x\) карандашей. В маленькой коробке карандашей на 6 меньше, то есть \((x - 6)\), и в пяти маленьких коробках лежит \(5(x - 6)\) карандашей. Оба выражения дают число карандашей на столе, поэтому этому обозначению отвечает уравнение 3) \(3x = 5(x - 6)\).
В) Пусть \(x\) — число карандашей на учительском столе. Тогда в каждой большой коробке лежит \(\frac{x}{3}\) карандашей, а в каждой маленькой — \(\frac{x}{5}\) карандашей, причём в маленькой на 6 меньше. Значит, этому обозначению отвечает уравнение 1) \(\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6\).
Решим последнее уравнение, умножив обе его части на 15:
\[\begin{aligned} &15 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{x}{5} \right) = 15 \cdot 6; \\ &5x - 3x = 90; \\ &2x = 90; \\ &x = 45. \end{aligned}\]
В большой коробке помещается \(45 : 3 = 15\) карандашей, в маленькой — \(45 : 5 = 9\) карандашей, и это на 6 карандашей меньше, как и сказано в условии.
Ответ: на учительском столе 45 карандашей; А2, Б3, В1.
