Это надо уметь на страницах 58-59, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Это надо уметь (обязательные результаты обучения)
1. Найдите значение дроби при указанных значениях переменных:
а) \(\frac{ab}{a - b}\) при \(a = 0{,}5\), \(b = 2\);
б) \(\frac{x^2 - y^2}{x}\) при \(x = -10\), \(y = -1\).
2. Укажите допустимые значения переменной для дроби:
а) \(\frac{m}{2m - 5}\);
б) \(\frac{x - 3}{x^2}\);
в) \(\frac{n^2 - 1}{10}\).
3. Выразите из физической формулы \(Q = cm(t_2 - t_1)\):
а) переменную \(m\); б) переменную \(t_2\).
4. Сократите дробь:
а) \(\frac{16x^3y}{20x^2y^2}\);
б) \(\frac{a^2 - ab}{a^2}\);
в) \(\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2}\);
г) \(\frac{c^2 + c}{c^2 - c}\);
д) \(\frac{z - 1}{a - az}\).
5. Выполните действия:
а) \(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}\);
б) \(\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{2ab}{a + b}\).
6. Выполните действия:
а) \(\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}\);
б) \(\frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n}\);
в) \(\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x + y}\);
г) \(\frac{5a}{a - 5} + \frac{25}{5 - a}\).
7. Представьте выражение в виде дроби:
а) \(\frac{3b}{a - b} + 3\);
б) \(2c - \frac{bc - 6}{b}\).
8. Выполните умножение:
а) \(\frac{x^2y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy}\);
б) \(\frac{4b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a + b}{2b}\);
в) \(2ac \cdot \frac{3c}{4a^2}\).
9. Выполните деление:
а) \(\frac{m + 1}{m} : \frac{3m + 3}{m}\);
б) \(\frac{x^2 - xy}{y} : (x - y)\).
10. Упростите выражение:
а) \(\frac{10}{a^2 - 4} - \frac{3}{a - 2} + \frac{4}{a + 2}\);
б) \(\left( \frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} \right) \cdot \frac{a - b}{ab}\);
в) \(\frac{2c}{c - 3} - \frac{c^2 + c}{4} : \frac{c + 1}{8}\).
11. Выразите из формулы \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}\):
а) переменную \(a\); б) переменную \(c\).
12. Вычислите: а) \(8^{-2}\); б) \(\left( \frac{2}{3} \right)^{-3}\).
13. Представьте выражение в виде степени: \(a^{-2} \cdot a^6\); \(\frac{x^3}{x^5}\); \((c^{10})^{-3}\).
14. Упростите выражение:
а) \(\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7}\);
б) \(\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}\).
15. Запишите в стандартном виде число:
а) \(1\,280\,000\); б) \(0{,}0000071\).
16. Сравните:
а) \(\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}}\) и \(0{,}005\);
б) \((1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7)\) и \(0{,}003\).
17. Решите уравнение \(\frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{4} = 1\).
18. Решите задачу:
«Турист вышел с турбазы и направился к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч. Через час с турбазы к станции пошёл второй турист со скоростью 5 км/ч. На станцию они пришли одновременно. Чему равно расстояние от турбазы до станции?»
а) \[\frac{ab}{a - b} = \frac{0{,}5 \cdot 2}{0{,}5 - 2} = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}.\]
б) \[\frac{x^2 - y^2}{x} = \frac{(-10)^2 - (-1)^2}{-10} = \frac{100 - 1}{-10} = \frac{99}{-10} = -9{,}9.\]
Ответ: а) \(-\frac{2}{3}\); б) \(-9{,}9\).
а) \(2m - 5 = 0\); \(2m = 5\); \(m = 2{,}5\). Допустимы все числа, кроме \(2{,}5\).
б) \(x^2 = 0\); \(x = 0\). Допустимы все числа, кроме 0.
в) Знаменатель равен 10 и в нуль не обращается ни при каком значении \(n\). Допустимо любое число.
Ответ: а) все числа, кроме \(2{,}5\); б) все числа, кроме 0; в) любые числа.
а) В равенстве \(Q = cm(t_2 - t_1)\) переменная \(m\) — неизвестный множитель: \[m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}.\]
б) Разделим обе части равенства на \(cm\): \(t_2 - t_1 = \frac{Q}{cm}\). Отсюда \[t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1.\]
Ответ: а) \(m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}\); б) \(t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1\).
а) \[\frac{16x^3y}{20x^2y^2} = \frac{4x^2y \cdot 4x}{4x^2y \cdot 5y} = \frac{4x}{5y}.\]
б) \[\frac{a^2 - ab}{a^2} = \frac{a(a - b)}{a \cdot a} = \frac{a - b}{a}.\]
в) \[\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2} = \frac{(m - n)(m + n)}{n(m + n)} = \frac{m - n}{n}.\]
г) \[\frac{c^2 + c}{c^2 - c} = \frac{c(c + 1)}{c(c - 1)} = \frac{c + 1}{c - 1}.\]
д) Замена выражения \(1 - z\) на противоположное ему \(z - 1\) даёт знак «минус» перед дробью: \[\frac{z - 1}{a - az} = \frac{z - 1}{a(1 - z)} = -\frac{z - 1}{a(z - 1)} = -\frac{1}{a}.\]
Ответ: а) \(\frac{4x}{5y}\); б) \(\frac{a - b}{a}\); в) \(\frac{m - n}{n}\); г) \(\frac{c + 1}{c - 1}\); д) \(-\frac{1}{a}\).
а) \[\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}.\]
б) \[\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{2ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b.\]
Ответ: а) \(\frac{x}{x - 1}\); б) \(a + b\).
а) Общий знаменатель — \(6a\): \[\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a} = \frac{3}{6a} - \frac{2}{6a} = \frac{1}{6a}.\]
б) Общий знаменатель — \((m - n)(m + n)\): \[\frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n) + m(m - n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + mn + m^2 - mn}{m^2 - n^2} = \frac{2m^2}{m^2 - n^2}.\]
в) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\), поэтому общий знаменатель — \(x^2 - y^2\), а дополнительный множитель второй дроби — \(x - y\): \[\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x + y} = \frac{4x - 4(x - y)}{x^2 - y^2} = \frac{4x - 4x + 4y}{x^2 - y^2} = \frac{4y}{x^2 - y^2}.\]
г) Замена выражения \(5 - a\) на противоположное ему \(a - 5\) даёт знак «минус» перед второй дробью, и знаменатели становятся одинаковыми: \[\frac{5a}{a - 5} + \frac{25}{5 - a} = \frac{5a}{a - 5} - \frac{25}{a - 5} = \frac{5a - 25}{a - 5} = \frac{5(a - 5)}{a - 5} = 5.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6a}\); б) \(\frac{2m^2}{m^2 - n^2}\); в) \(\frac{4y}{x^2 - y^2}\); г) 5.
а) Дополнительный множитель для слагаемого 3 — знаменатель \(a - b\): \[\frac{3b}{a - b} + 3 = \frac{3b + 3(a - b)}{a - b} = \frac{3b + 3a - 3b}{a - b} = \frac{3a}{a - b}.\]
б) Дополнительный множитель для одночлена \(2c\) — знаменатель \(b\); числитель вычитаемой дроби берём в скобки: \[2c - \frac{bc - 6}{b} = \frac{2bc - (bc - 6)}{b} = \frac{2bc - bc + 6}{b} = \frac{bc + 6}{b}.\]
Ответ: а) \(\frac{3a}{a - b}\); б) \(\frac{bc + 6}{b}\).
а) \[\frac{x^2y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy} = \frac{x^2y \cdot z^2}{2z \cdot 2xy} = \frac{xyz \cdot xz}{xyz \cdot 4} = \frac{xz}{4}.\]
б) \[\frac{4b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a + b}{2b} = \frac{4b(a + b)}{(a - b)(a + b) \cdot 2b} = \frac{2}{a - b}.\]
в) \[2ac \cdot \frac{3c}{4a^2} = \frac{2ac}{1} \cdot \frac{3c}{4a^2} = \frac{2ac \cdot 3c}{4a^2} = \frac{6ac^2}{4a^2} = \frac{3c^2}{2a}.\]
Ответ: а) \(\frac{xz}{4}\); б) \(\frac{2}{a - b}\); в) \(\frac{3c^2}{2a}\).
а) \[\frac{m + 1}{m} : \frac{3m + 3}{m} = \frac{m + 1}{m} \cdot \frac{m}{3m + 3} = \frac{(m + 1) \cdot m}{m \cdot 3(m + 1)} = \frac{1}{3}.\]
б) \[\frac{x^2 - xy}{y} : (x - y) = \frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{1}{x - y} = \frac{x(x - y)}{y(x - y)} = \frac{x}{y}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{x}{y}\).
а) \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\), поэтому общий знаменатель — \(a^2 - 4\), а дополнительные множители второй и третьей дробей — \(a + 2\) и \(a - 2\): \[\frac{10}{a^2 - 4} - \frac{3}{a - 2} + \frac{4}{a + 2} = \frac{10 - 3(a + 2) + 4(a - 2)}{a^2 - 4} = \frac{10 - 3a - 6 + 4a - 8}{a^2 - 4} = \frac{a - 4}{a^2 - 4}.\]
б) 1) \(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} = \frac{a(a + b) - a(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + ab - a^2 + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)}\);
2) \(\frac{2ab}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{a - b}{ab} = \frac{2ab(a - b)}{(a - b)(a + b)ab} = \frac{2}{a + b}\).
в) 1) \(\frac{c^2 + c}{4} : \frac{c + 1}{8} = \frac{c^2 + c}{4} \cdot \frac{8}{c + 1} = \frac{c(c + 1) \cdot 8}{4(c + 1)} = 2c\);
2) \(\frac{2c}{c - 3} - 2c = \frac{2c - 2c(c - 3)}{c - 3} = \frac{2c - 2c^2 + 6c}{c - 3} = \frac{8c - 2c^2}{c - 3} = \frac{2c(4 - c)}{c - 3}\).
Ответ: а) \(\frac{a - 4}{a^2 - 4}\); б) \(\frac{2}{a + b}\); в) \(\frac{2c(4 - c)}{c - 3}\).
а) \(\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{c - b}{bc}\), значит, \(\frac{1}{a} = \frac{c - b}{bc}\), а \(a\) — число, обратное дроби \(\frac{c - b}{bc}\): \[a = \frac{bc}{c - b}.\]
б) Перенесём \(\frac{1}{c}\) в левую часть равенства, а \(\frac{1}{a}\) — в правую, изменив у обоих слагаемых знак: \(\frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}\). Значит, \(c\) — число, обратное дроби \(\frac{a - b}{ab}\): \[c = \frac{ab}{a - b}.\]
Ответ: а) \(a = \frac{bc}{c - b}\); б) \(c = \frac{ab}{a - b}\).
а) \[8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}.\]
б) \[\left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \frac{1}{\left( \frac{2}{3} \right)^3} = \frac{1}{\frac{8}{27}} = \frac{27}{8}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{64}\); б) \(\frac{27}{8}\).
\[\begin{aligned} &a^{-2} \cdot a^6 = a^{-2 + 6} = a^4; \\ &\frac{x^3}{x^5} = x^{3 - 5} = x^{-2}; \\ &(c^{10})^{-3} = c^{10 \cdot (-3)} = c^{-30}. \end{aligned}\]
Ответ: \(a^{-2} \cdot a^6 = a^4\); \(\frac{x^3}{x^5} = x^{-2}\); \((c^{10})^{-3} = c^{-30}\).
а) \[\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7} = \frac{a^{-6}}{a^7} = a^{-6 - 7} = a^{-13}.\]
б) \[\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}} = \frac{3^{-3} x^6}{3^{-2} x^{-1}} = 3^{-3 - (-2)} \cdot x^{6 - (-1)} = 3^{-1} x^7 = \frac{x^7}{3}.\]
Ответ: а) \(a^{-13}\); б) \(\frac{x^7}{3}\).
а) Первый множитель — \(1{,}28\); чтобы получить из него данное число, запятую надо перенести на 6 знаков вправо, значит, \(n = 6\): \[1\,280\,000 = 1{,}28 \cdot 10^6.\]
б) Первый множитель — \(7{,}1\); чтобы получить из него данное число, запятую надо перенести на 6 знаков влево, значит, \(n = -6\): \[0{,}0000071 = 7{,}1 \cdot 10^{-6}.\]
Ответ: а) \(1{,}28 \cdot 10^6\); б) \(7{,}1 \cdot 10^{-6}\).
а) \[\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} = \frac{1{,}8}{9} \cdot \frac{10^9}{10^{11}} = 0{,}2 \cdot 10^{-2} = 0{,}002.\]
\(0{,}002 < 0{,}005\).
б) \[(1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) = 1{,}4 \cdot 2 \cdot 10^{-10 + 7} = 2{,}8 \cdot 10^{-3} = 0{,}0028.\]
\(0{,}0028 < 0{,}003\).
Ответ: а) \(\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} < 0{,}005\); б) \((1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) < 0{,}003\).
Умножим обе части уравнения на 12:
\[\begin{aligned} &12 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{4} \right) = 12 \cdot 1; \\ &4x - 3(2x - 1) = 12; \\ &4x - 6x + 3 = 12; \\ &-2x = 9; \\ &x = -4{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(-4{,}5\).
Дано:
\(v_1 = 4\) км/ч — скорость первого туриста
\(v_2 = 5\) км/ч — скорость второго туриста
второй турист вышел на 1 ч позже первого
на станцию они пришли одновременно
Найти: \(s\) — расстояние от турбазы до станции.
Решение:
Пусть \(s\) км — расстояние от турбазы до станции. Первый турист был в пути \(\frac{s}{4}\) ч, а второй — \(\frac{s}{5}\) ч.
Второй турист вышел на час позже, а пришли они одновременно, значит, первый был в пути на 1 ч дольше:
\[\frac{s}{4} - \frac{s}{5} = 1.\]
Умножим обе части уравнения на 20:
\[5s - 4s = 20; \qquad s = 20.\]
\(20 : 4 = 5\) (ч) — время первого туриста.
\(20 : 5 = 4\) (ч) — время второго туриста, на час меньше.
Ответ: 20 км.
Это надо уметь (обязательные результаты обучения)
1. Найдите значение дроби при указанных значениях переменных:
а) \(\frac{ab}{a - b}\) при \(a = 0{,}5\), \(b = 2\);
б) \(\frac{x^2 - y^2}{x}\) при \(x = -10\), \(y = -1\).
2. Укажите допустимые значения переменной для дроби:
а) \(\frac{m}{2m - 5}\);
б) \(\frac{x - 3}{x^2}\);
в) \(\frac{n^2 - 1}{10}\).
3. Выразите из физической формулы \(Q = cm(t_2 - t_1)\):
а) переменную \(m\); б) переменную \(t_2\).
4. Сократите дробь:
а) \(\frac{16x^3y}{20x^2y^2}\);
б) \(\frac{a^2 - ab}{a^2}\);
в) \(\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2}\);
г) \(\frac{c^2 + c}{c^2 - c}\);
д) \(\frac{z - 1}{a - az}\).
5. Выполните действия:
а) \(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}\);
б) \(\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{2ab}{a + b}\).
6. Выполните действия:
а) \(\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}\);
б) \(\frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n}\);
в) \(\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x + y}\);
г) \(\frac{5a}{a - 5} + \frac{25}{5 - a}\).
7. Представьте выражение в виде дроби:
а) \(\frac{3b}{a - b} + 3\);
б) \(2c - \frac{bc - 6}{b}\).
8. Выполните умножение:
а) \(\frac{x^2y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy}\);
б) \(\frac{4b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a + b}{2b}\);
в) \(2ac \cdot \frac{3c}{4a^2}\).
9. Выполните деление:
а) \(\frac{m + 1}{m} : \frac{3m + 3}{m}\);
б) \(\frac{x^2 - xy}{y} : (x - y)\).
10. Упростите выражение:
а) \(\frac{10}{a^2 - 4} - \frac{3}{a - 2} + \frac{4}{a + 2}\);
б) \(\left( \frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} \right) \cdot \frac{a - b}{ab}\);
в) \(\frac{2c}{c - 3} - \frac{c^2 + c}{4} : \frac{c + 1}{8}\).
11. Выразите из формулы \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}\):
а) переменную \(a\); б) переменную \(c\).
12. Вычислите: а) \(8^{-2}\); б) \(\left( \frac{2}{3} \right)^{-3}\).
13. Представьте выражение в виде степени: \(a^{-2} \cdot a^6\); \(\frac{x^3}{x^5}\); \((c^{10})^{-3}\).
14. Упростите выражение:
а) \(\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7}\);
б) \(\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}\).
15. Запишите в стандартном виде число:
а) \(1\,280\,000\); б) \(0{,}0000071\).
16. Сравните:
а) \(\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}}\) и \(0{,}005\);
б) \((1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7)\) и \(0{,}003\).
17. Решите уравнение \(\frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{4} = 1\).
18. Решите задачу:
«Турист вышел с турбазы и направился к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч. Через час с турбазы к станции пошёл второй турист со скоростью 5 км/ч. На станцию они пришли одновременно. Чему равно расстояние от турбазы до станции?»
а) Подставим в дробь \(a = 0{,}5\) и \(b = 2\):
\[\frac{ab}{a - b} = \frac{0{,}5 \cdot 2}{0{,}5 - 2} = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}.\]
б) Подставим в дробь \(x = -10\) и \(y = -1\):
\[\frac{x^2 - y^2}{x} = \frac{(-10)^2 - (-1)^2}{-10} = \frac{100 - 1}{-10} = \frac{99}{-10} = -9{,}9.\]
Ответ: а) \(-\frac{2}{3}\); б) \(-9{,}9\).
Допустимы все значения переменной, кроме тех, которые обращают знаменатель дроби в нуль. Чтобы найти такие значения, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение.
а) \(2m - 5 = 0\); \(2m = 5\); \(m = 2{,}5\). Допустимы все числа, кроме \(2{,}5\).
б) \(x^2 = 0\); \(x = 0\). Допустимы все числа, кроме 0.
в) Знаменатель равен 10 и в нуль не обращается ни при каком значении \(n\). Допустимо любое число.
Ответ: а) все числа, кроме \(2{,}5\); б) все числа, кроме 0; в) любые числа.
а) В равенстве \(Q = cm(t_2 - t_1)\) переменная \(m\) — неизвестный множитель, а чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
\[m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}.\]
б) Разделим обе части равенства на \(cm\): \(t_2 - t_1 = \frac{Q}{cm}\). Отсюда
\[t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1.\]
Ответ: а) \(m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}\); б) \(t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1\).
а) Выделим в числителе и знаменателе общий множитель \(4x^2y\):
\[\frac{16x^3y}{20x^2y^2} = \frac{4x^2y \cdot 4x}{4x^2y \cdot 5y} = \frac{4x}{5y}.\]
б) Вынесем в числителе общий множитель \(a\):
\[\frac{a^2 - ab}{a^2} = \frac{a(a - b)}{a \cdot a} = \frac{a - b}{a}.\]
в) Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель \(n\):
\[\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2} = \frac{(m - n)(m + n)}{n(m + n)} = \frac{m - n}{n}.\]
г) Вынесем общий множитель \(c\) и в числителе, и в знаменателе:
\[\frac{c^2 + c}{c^2 - c} = \frac{c(c + 1)}{c(c - 1)} = \frac{c + 1}{c - 1}.\]
д) Вынесем в знаменателе общий множитель \(a\), а затем заменим выражение \(1 - z\) на противоположное ему \(z - 1\), поставив знак «минус» перед дробью:
\[\frac{z - 1}{a - az} = \frac{z - 1}{a(1 - z)} = -\frac{z - 1}{a(z - 1)} = -\frac{1}{a}.\]
Ответ: а) \(\frac{4x}{5y}\); б) \(\frac{a - b}{a}\); в) \(\frac{m - n}{n}\); г) \(\frac{c + 1}{c - 1}\); д) \(-\frac{1}{a}\).
а) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому из числителя первой дроби вычтем числитель второй, а знаменатель оставим тем же:
\[\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}.\]
б) Сложим числители дробей; в числителе получится квадрат суммы:
\[\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{2ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b.\]
Ответ: а) \(\frac{x}{x - 1}\); б) \(a + b\).
а) Общий знаменатель — \(6a\); дополнительный множитель первой дроби — 3, второй — 2:
\[\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a} = \frac{3}{6a} - \frac{2}{6a} = \frac{1}{6a}.\]
б) Общий знаменатель — произведение \((m - n)(m + n)\); дополнительный множитель первой дроби — \(m + n\), второй — \(m - n\):
\[\frac{m}{m - n} + \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n) + m(m - n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + mn + m^2 - mn}{m^2 - n^2} = \frac{2m^2}{m^2 - n^2}.\]
в) Знаменатель первой дроби раскладывается на множители: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\), поэтому он делится на \(x + y\) и его можно принять за общий знаменатель; дополнительный множитель второй дроби — \(x - y\):
\[\frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x + y} = \frac{4x - 4(x - y)}{x^2 - y^2} = \frac{4x - 4x + 4y}{x^2 - y^2} = \frac{4y}{x^2 - y^2}.\]
г) Заменим в знаменателе второй дроби выражение \(5 - a\) на противоположное ему \(a - 5\), поставив знак «минус» перед дробью; после этого знаменатели станут одинаковыми:
\[\frac{5a}{a - 5} + \frac{25}{5 - a} = \frac{5a}{a - 5} - \frac{25}{a - 5} = \frac{5a - 25}{a - 5} = \frac{5(a - 5)}{a - 5} = 5.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6a}\); б) \(\frac{2m^2}{m^2 - n^2}\); в) \(\frac{4y}{x^2 - y^2}\); г) 5.
а) Целое выражение 3 запишем в виде дроби со знаменателем 1 и приведём её к знаменателю \(a - b\); дополнительный множитель — \(a - b\):
\[\frac{3b}{a - b} + 3 = \frac{3b + 3(a - b)}{a - b} = \frac{3b + 3a - 3b}{a - b} = \frac{3a}{a - b}.\]
б) Дополнительный множитель для одночлена \(2c\) — знаменатель \(b\); числитель вычитаемой дроби берём в скобки:
\[2c - \frac{bc - 6}{b} = \frac{2bc - (bc - 6)}{b} = \frac{2bc - bc + 6}{b} = \frac{bc + 6}{b}.\]
Ответ: а) \(\frac{3a}{a - b}\); б) \(\frac{bc + 6}{b}\).
а) Перемножим числители и перемножим знаменатели, а полученную дробь сократим на \(xyz\):
\[\frac{x^2y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy} = \frac{x^2y \cdot z^2}{2z \cdot 2xy} = \frac{xyz \cdot xz}{xyz \cdot 4} = \frac{xz}{4}.\]
б) Разложим разность квадратов в знаменателе на множители и сократим дробь на \(2b(a + b)\):
\[\frac{4b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a + b}{2b} = \frac{4b(a + b)}{(a - b)(a + b) \cdot 2b} = \frac{2}{a - b}.\]
в) Запишем одночлен \(2ac\) в виде дроби со знаменателем 1:
\[2ac \cdot \frac{3c}{4a^2} = \frac{2ac}{1} \cdot \frac{3c}{4a^2} = \frac{2ac \cdot 3c}{4a^2} = \frac{6ac^2}{4a^2} = \frac{3c^2}{2a}.\]
Ответ: а) \(\frac{xz}{4}\); б) \(\frac{2}{a - b}\); в) \(\frac{3c^2}{2a}\).
а) Умножим делимое на дробь, обратную делителю:
\[\frac{m + 1}{m} : \frac{3m + 3}{m} = \frac{m + 1}{m} \cdot \frac{m}{3m + 3} = \frac{(m + 1) \cdot m}{m \cdot 3(m + 1)} = \frac{1}{3}.\]
б) Запишем делитель в виде дроби со знаменателем 1; обратная ему дробь — \(\frac{1}{x - y}\):
\[\frac{x^2 - xy}{y} : (x - y) = \frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{1}{x - y} = \frac{x(x - y)}{y(x - y)} = \frac{x}{y}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{x}{y}\).
а) Первый знаменатель раскладывается на множители: \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\), поэтому за общий знаменатель возьмём \(a^2 - 4\); дополнительный множитель второй дроби — \(a + 2\), третьей — \(a - 2\):
\[\frac{10}{a^2 - 4} - \frac{3}{a - 2} + \frac{4}{a + 2} = \frac{10 - 3(a + 2) + 4(a - 2)}{a^2 - 4} = \frac{10 - 3a - 6 + 4a - 8}{a^2 - 4} = \frac{a - 4}{a^2 - 4}.\]
б) Преобразование выполним по действиям.
1) \(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b} = \frac{a(a + b) - a(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + ab - a^2 + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)}\);
2) \(\frac{2ab}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{a - b}{ab} = \frac{2ab(a - b)}{(a - b)(a + b)ab} = \frac{2}{a + b}\).
в) Преобразование выполним по действиям.
1) \(\frac{c^2 + c}{4} : \frac{c + 1}{8} = \frac{c^2 + c}{4} \cdot \frac{8}{c + 1} = \frac{c(c + 1) \cdot 8}{4(c + 1)} = 2c\);
2) \(\frac{2c}{c - 3} - 2c = \frac{2c - 2c(c - 3)}{c - 3} = \frac{2c - 2c^2 + 6c}{c - 3} = \frac{8c - 2c^2}{c - 3} = \frac{2c(4 - c)}{c - 3}\).
Ответ: а) \(\frac{a - 4}{a^2 - 4}\); б) \(\frac{2}{a + b}\); в) \(\frac{2c(4 - c)}{c - 3}\).
а) Приведём правую часть равенства к общему знаменателю: \(\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{c - b}{bc}\). Значит, \(\frac{1}{a} = \frac{c - b}{bc}\), а \(a\) — число, обратное дроби \(\frac{c - b}{bc}\):
\[a = \frac{bc}{c - b}.\]
б) Перенесём \(\frac{1}{c}\) в левую часть равенства, а \(\frac{1}{a}\) — в правую, изменив у обоих слагаемых знак: \(\frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\). Приведём правую часть к общему знаменателю: \(\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}\). Значит, \(c\) — число, обратное дроби \(\frac{a - b}{ab}\):
\[c = \frac{ab}{a - b}.\]
Ответ: а) \(a = \frac{bc}{c - b}\); б) \(c = \frac{ab}{a - b}\).
а) По определению степени с целым отрицательным показателем
\[8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}.\]
б) По тому же определению
\[\left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \frac{1}{\left( \frac{2}{3} \right)^3} = \frac{1}{\frac{8}{27}} = \frac{27}{8}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{64}\); б) \(\frac{27}{8}\).
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются, а при возведении степени в степень — перемножаются:
\[\begin{aligned} &a^{-2} \cdot a^6 = a^{-2 + 6} = a^4; \\ &\frac{x^3}{x^5} = x^{3 - 5} = x^{-2}; \\ &(c^{10})^{-3} = c^{10 \cdot (-3)} = c^{-30}. \end{aligned}\]
Ответ: \(a^{-2} \cdot a^6 = a^4\); \(\frac{x^3}{x^5} = x^{-2}\); \((c^{10})^{-3} = c^{-30}\).
а) В числителе показатели складываем, а при делении вычитаем показатель делителя:
\[\frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7} = \frac{a^{-6}}{a^7} = a^{-6 - 7} = a^{-13}.\]
б) Возведём произведение в степень, а затем разделим степени с одинаковыми основаниями:
\[\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}} = \frac{3^{-3} x^6}{3^{-2} x^{-1}} = 3^{-3 - (-2)} \cdot x^{6 - (-1)} = 3^{-1} x^7 = \frac{x^7}{3}.\]
Ответ: а) \(a^{-13}\); б) \(\frac{x^7}{3}\).
Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения \(a \cdot 10^n\), где \(1 \leqslant a < 10\), а \(n\) — целое число.
а) Первый множитель — \(1{,}28\); чтобы получить из него данное число, запятую надо перенести на 6 знаков вправо, значит, \(n = 6\):
\[1\,280\,000 = 1{,}28 \cdot 10^6.\]
б) Первый множитель — \(7{,}1\); чтобы получить из него данное число, запятую надо перенести на 6 знаков влево, значит, \(n = -6\):
\[0{,}0000071 = 7{,}1 \cdot 10^{-6}.\]
Ответ: а) \(1{,}28 \cdot 10^6\); б) \(7{,}1 \cdot 10^{-6}\).
а) Разделим отдельно первые множители и отдельно степени десятки:
\[\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} = \frac{1{,}8}{9} \cdot \frac{10^9}{10^{11}} = 0{,}2 \cdot 10^{-2} = 0{,}002.\]
Сравним полученное число с \(0{,}005\): \(0{,}002 < 0{,}005\).
б) Перемножим отдельно первые множители и отдельно степени десятки:
\[(1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) = 1{,}4 \cdot 2 \cdot 10^{-10 + 7} = 2{,}8 \cdot 10^{-3} = 0{,}0028.\]
Сравним полученное число с \(0{,}003\): \(0{,}0028 < 0{,}003\).
Ответ: а) \(\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} < 0{,}005\); б) \((1{,}4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) < 0{,}003\).
Наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Умножим на 12 обе части уравнения — это позволит избавиться от дробей:
\[\begin{aligned} &12 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{4} \right) = 12 \cdot 1; \\ &4x - 3(2x - 1) = 12; \\ &4x - 6x + 3 = 12; \\ &-2x = 9; \\ &x = -4{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(-4{,}5\).
Дано:
\(v_1 = 4\) км/ч — скорость первого туриста
\(v_2 = 5\) км/ч — скорость второго туриста
второй турист вышел на 1 ч позже первого
на станцию они пришли одновременно
Найти: \(s\) — расстояние от турбазы до станции.
Решение:
Пусть \(s\) км — расстояние от турбазы до станции. Тогда первый турист был в пути \(\frac{s}{4}\) ч, а второй — \(\frac{s}{5}\) ч. Второй турист вышел на час позже и пришёл на станцию одновременно с первым, значит, первый был в пути на 1 ч дольше:
\[\frac{s}{4} - \frac{s}{5} = 1.\]
Умножим обе части уравнения на 20:
\[5s - 4s = 20; \qquad s = 20.\]
Расстояние от турбазы до станции равно 20 км. Первый турист прошёл его за \(20 : 4 = 5\) (ч), второй — за \(20 : 5 = 4\) (ч), то есть на час быстрее.
Ответ: 20 км.
