Страница 32 номер 74, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Множество \(S\) состоит из точек \((x; y)\) координатной плоскости, для которых истинно утверждение \(y \le 1{,}5x\); множество \(T\) состоит из точек, для которых истинно утверждение \(y \ge x - 1\). Изобразите на координатной плоскости множества \(S\) и \(T\). Укажите на рисунке множество: а) \(S \cap T\); б) \(S \cup T\).
Множество \(S\) — прямая \(y = 1{,}5x\) и все точки ниже неё, множество \(T\) — прямая \(y = x - 1\) и все точки выше неё (точка лежит ниже прямой, если её ордината меньше ординаты точки прямой с той же абсциссой). Обе прямые входят в свои множества, так как неравенства нестрогие, и проводятся сплошными линиями. Абсцисса точки пересечения прямых: \[\begin{aligned} 1{,}5x &= x - 1; \\ 0{,}5x &= -1; \qquad | : 0{,}5 \\ x &= -2. \end{aligned}\]
Тогда \(y = 1{,}5 \cdot (-2) = -3\), и прямые пересекаются в точке \((-2; -3)\). Правее этой точки прямая \(y = 1{,}5x\) проходит выше прямой \(y = x - 1\) (при \(x = 0\) ординаты их точек равны 0 и \(-1\)), а левее — ниже (при \(x = -4\) ординаты равны \(-6\) и \(-5\)).
а) Точки множества \(S \cap T\) лежат не выше прямой \(y = 1{,}5x\) и не ниже прямой \(y = x - 1\). Такие точки есть только там, где прямая \(y = 1{,}5x\) проходит не ниже прямой \(y = x - 1\), то есть при \(x \geqslant -2\). Значит, \(S \cap T\) — часть плоскости внутри угла с вершиной \((-2; -3)\), стороны которого — лучи прямых \(y = 1{,}5x\) и \(y = x - 1\), идущие от этой точки вправо, вместе с самими сторонами.
б) В объединение \(S \cup T\) не входят только точки, которые не принадлежат ни множеству \(S\), ни множеству \(T\), — выше прямой \(y = 1{,}5x\) и ниже прямой \(y = x - 1\). Такие точки есть только левее точки \((-2; -3)\), где прямая \(y = 1{,}5x\) проходит ниже прямой \(y = x - 1\). Значит, \(S \cup T\) — вся плоскость, кроме внутренней части угла с вершиной \((-2; -3)\), стороны которого — лучи прямых \(y = 1{,}5x\) и \(y = x - 1\), идущие от этой точки влево; сами эти лучи в \(S \cup T\) входят.
Множество \(S\) состоит из точек \((x; y)\) координатной плоскости, для которых истинно утверждение \(y \le 1{,}5x\); множество \(T\) состоит из точек, для которых истинно утверждение \(y \ge x - 1\). Изобразите на координатной плоскости множества \(S\) и \(T\). Укажите на рисунке множество: а) \(S \cap T\); б) \(S \cup T\).
Множество \(S\) — прямая \(y = 1{,}5x\) и все точки ниже неё, множество \(T\) — прямая \(y = x - 1\) и все точки выше неё (точка лежит ниже прямой, если её ордината меньше ординаты точки прямой с той же абсциссой). Обе прямые входят в свои множества, так как неравенства нестрогие, и проводятся сплошными линиями. Абсциссу точки пересечения прямых найдём из уравнения \(1{,}5x = x - 1\): \[\begin{aligned} 1{,}5x &= x - 1; \\ 0{,}5x &= -1; \qquad | : 0{,}5 \\ x &= -2. \end{aligned}\]
Тогда \(y = 1{,}5 \cdot (-2) = -3\), и прямые пересекаются в точке \((-2; -3)\). Правее этой точки прямая \(y = 1{,}5x\) проходит выше прямой \(y = x - 1\) (при \(x = 0\) ординаты их точек равны 0 и \(-1\)), а левее — ниже (при \(x = -4\) ординаты равны \(-6\) и \(-5\)).
а) Точки множества \(S \cap T\) лежат не выше прямой \(y = 1{,}5x\) и не ниже прямой \(y = x - 1\). Такие точки есть только там, где прямая \(y = 1{,}5x\) проходит не ниже прямой \(y = x - 1\), то есть при \(x \geqslant -2\). Значит, \(S \cap T\) — часть плоскости внутри угла с вершиной \((-2; -3)\), стороны которого — лучи прямых \(y = 1{,}5x\) и \(y = x - 1\), идущие от этой точки вправо, вместе с самими сторонами.
б) В объединение \(S \cup T\) не входят только точки, которые не принадлежат ни множеству \(S\), ни множеству \(T\), — выше прямой \(y = 1{,}5x\) и ниже прямой \(y = x - 1\). Такие точки есть только левее точки \((-2; -3)\), где прямая \(y = 1{,}5x\) проходит ниже прямой \(y = x - 1\). Значит, \(S \cup T\) — вся плоскость, кроме внутренней части угла с вершиной \((-2; -3)\), стороны которого — лучи прямых \(y = 1{,}5x\) и \(y = x - 1\), идущие от этой точки влево; сами эти лучи в \(S \cup T\) входят.
