Страница 32 номер 71, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Изобразите на координатной плоскости \(xOy\) множество всех точек \((x; y)\), для которых истинно утверждение: а) \(x > y\) или \(x = y\); б) \(x \ne y\) и \(x \ge 3\); в) \(x \le 2y\) или \(y \le 2x\); г) \(y - 2 < x\) и \(y > x - 2\).
Точка лежит ниже прямой \(y = kx + b\), если её ордината меньше ординаты точки прямой с той же абсциссой, то есть если \(y < kx + b\), и выше прямой, если \(y > kx + b\). Прямую, точки которой входят в множество, проводим сплошной линией, а прямую, точки которой в него не входят, — штриховой.
а) Утверждение \(x > y\) — то же, что \(y < x\): оно истинно для точек ниже прямой \(y = x\). Утверждение \(x = y\) истинно для точек самой прямой \(y = x\). Союз «или» означает объединение: множество состоит из прямой \(y = x\) и всех точек ниже неё — у них ордината не больше абсциссы.
б) Утверждение \(x \geqslant 3\) истинно для точек прямой \(x = 3\) и точек правее неё, утверждение \(x \ne y\) — для всех точек, кроме точек прямой \(y = x\). Союз «и» означает пересечение: множество состоит из прямой \(x = 3\) и всех точек правее неё, кроме точек прямой \(y = x\); на прямой \(x = 3\) в множество не входит точка \((3; 3)\).
в) Утверждение \(x \leqslant 2y\) — то же, что \(y \geqslant 0{,}5x\): оно истинно для точек прямой \(y = 0{,}5x\) и точек выше неё. Утверждение \(y \leqslant 2x\) истинно для точек прямой \(y = 2x\) и точек ниже неё. Утверждение с союзом «или» ложно, только когда ложны обе его части, то есть когда \(y < 0{,}5x\) и \(y > 2x\) одновременно: \(2x < y < 0{,}5x\). Так бывает только при \(2x < 0{,}5x\), то есть при \(x < 0\); например, при \(x = -2\) подходят ординаты \(-4 < y < -1\). Значит, множество — вся плоскость, кроме внутренней части угла между лучами прямых \(y = 2x\) и \(y = 0{,}5x\), которые выходят из начала координат влево вниз; сами эти лучи входят в множество.
г) Утверждение \(y - 2 < x\) — то же, что \(y < x + 2\): оно истинно для точек ниже прямой \(y = x + 2\). Утверждение \(y > x - 2\) истинно для точек выше прямой \(y = x - 2\). Эти прямые параллельны (угловые коэффициенты обеих равны 1), и прямая \(y = x + 2\) лежит выше прямой \(y = x - 2\). Союз «и» означает пересечение: множество — полоса между прямыми \(y = x - 2\) и \(y = x + 2\); сами прямые в множество не входят, так как оба неравенства строгие.
