Страница 32 номер 68, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Запишите с помощью числовых промежутков множество, состоящее из всех значений \(x\), для которых истинно утверждение: а) \(x > 3\) и \(x \ge 5\); б) \(x \ge -4\) и \(x < 12\); в) \(x > -2{,}5\) и \(x \le \pi\).
Утверждение с союзом «и» истинно, когда истинны обе его части, поэтому искомое множество — пересечение множеств решений двух неравенств.
а) Неравенство \(x > 3\) задаёт промежуток \((3; +\infty)\), неравенство \(x \geqslant 5\) — промежуток \([5; +\infty)\). Каждое число, не меньшее 5, больше 3, поэтому \([5; +\infty) \subset (3; +\infty)\) и \((3; +\infty) \cap [5; +\infty) = [5; +\infty)\).
б) Неравенство \(x \geqslant -4\) задаёт промежуток \([-4; +\infty)\), неравенство \(x < 12\) — промежуток \((-\infty; 12)\). Их пересечение — числа от \(-4\) до 12, причём число \(-4\) в него входит (неравенство нестрогое), а число 12 — нет (неравенство строгое): \([-4; +\infty) \cap (-\infty; 12) = [-4; 12)\).
в) Неравенство \(x > -2{,}5\) задаёт промежуток \((-2{,}5; +\infty)\), неравенство \(x \leqslant \pi\) — промежуток \((-\infty; \pi]\). Число \(-2{,}5\) в пересечение не входит, а число \(\pi\) входит: \((-2{,}5; +\infty) \cap (-\infty; \pi] = (-2{,}5; \pi]\).
Ответ: а) \([5; +\infty)\); б) \([-4; 12)\); в) \((-2{,}5; \pi]\).
Запишите с помощью числовых промежутков множество, состоящее из всех значений \(x\), для которых истинно утверждение: а) \(x > 3\) и \(x \ge 5\); б) \(x \ge -4\) и \(x < 12\); в) \(x > -2{,}5\) и \(x \le \pi\).
Утверждение с союзом «и» истинно, когда истинны обе его части, поэтому искомое множество — пересечение множеств решений двух неравенств (как у системы неравенств, где роль союза «и» играет фигурная скобка).
а) Неравенство \(x > 3\) задаёт промежуток \((3; +\infty)\), неравенство \(x \geqslant 5\) — промежуток \([5; +\infty)\). Каждое число, не меньшее 5, больше 3, поэтому \([5; +\infty) \subset (3; +\infty)\) и \((3; +\infty) \cap [5; +\infty) = [5; +\infty)\).
б) Неравенство \(x \geqslant -4\) задаёт промежуток \([-4; +\infty)\), неравенство \(x < 12\) — промежуток \((-\infty; 12)\). Их пересечение — числа от \(-4\) до 12, причём число \(-4\) в него входит (неравенство нестрогое), а число 12 — нет (неравенство строгое): \([-4; +\infty) \cap (-\infty; 12) = [-4; 12)\).
в) Неравенство \(x > -2{,}5\) задаёт промежуток \((-2{,}5; +\infty)\), неравенство \(x \leqslant \pi\) — промежуток \((-\infty; \pi]\). Число \(-2{,}5\) в пересечение не входит, а число \(\pi\) входит: \((-2{,}5; +\infty) \cap (-\infty; \pi] = (-2{,}5; \pi]\).
Ответ: а) \([5; +\infty)\); б) \([-4; 12)\); в) \((-2{,}5; \pi]\).
