Страница 32 номер 69, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Запишите множество, состоящее из всех значений \(x\), для которых истинно утверждение: а) \(x < 3\) или \(x \ge 8\); б) \(x \ge 4\) или \(x > 18\); в) \(x > 2\) и (\(x < 4\) или \(x > 6\)).
Утверждение с союзом «или» истинно, когда истинна хотя бы одна его часть, поэтому ему соответствует объединение множеств решений частей.
а) Неравенство \(x < 3\) задаёт промежуток \((-\infty; 3)\), неравенство \(x \geqslant 8\) — промежуток \([8; +\infty)\). Общих чисел у этих промежутков нет, и объединение записывается двумя промежутками: \((-\infty; 3) \cup [8; +\infty)\).
б) Неравенство \(x \geqslant 4\) задаёт промежуток \([4; +\infty)\), неравенство \(x > 18\) — промежуток \((18; +\infty)\). Каждое число, большее 18, больше и 4, поэтому \((18; +\infty) \subset [4; +\infty)\) и \([4; +\infty) \cup (18; +\infty) = [4; +\infty)\).
в) Утверждение в скобках «\(x < 4\) или \(x > 6\)» задаёт объединение \((-\infty; 4) \cup (6; +\infty)\). Союз «и» означает пересечение с промежутком \((2; +\infty)\): из промежутка \((-\infty; 4)\) остаются числа больше 2 и меньше 4 — интервал \((2; 4)\), а промежуток \((6; +\infty)\) остаётся целиком, так как все его числа больше 2. Значит, искомое множество — \((2; 4) \cup (6; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; 3) \cup [8; +\infty)\); б) \([4; +\infty)\); в) \((2; 4) \cup (6; +\infty)\).
Запишите множество, состоящее из всех значений \(x\), для которых истинно утверждение: а) \(x < 3\) или \(x \ge 8\); б) \(x \ge 4\) или \(x > 18\); в) \(x > 2\) и (\(x < 4\) или \(x > 6\)).
Утверждение с союзом «или» истинно, когда истинна хотя бы одна его часть, поэтому ему соответствует объединение множеств решений частей, а утверждению с союзом «и» — их пересечение.
а) Неравенство \(x < 3\) задаёт промежуток \((-\infty; 3)\), неравенство \(x \geqslant 8\) — промежуток \([8; +\infty)\). Общих чисел у этих промежутков нет, и объединение записывается двумя промежутками: \((-\infty; 3) \cup [8; +\infty)\).
б) Неравенство \(x \geqslant 4\) задаёт промежуток \([4; +\infty)\), неравенство \(x > 18\) — промежуток \((18; +\infty)\). Каждое число, большее 18, больше и 4, поэтому \((18; +\infty) \subset [4; +\infty)\) и \([4; +\infty) \cup (18; +\infty) = [4; +\infty)\).
в) Утверждение в скобках «\(x < 4\) или \(x > 6\)» задаёт объединение \((-\infty; 4) \cup (6; +\infty)\). Союз «и» означает пересечение с промежутком \((2; +\infty)\): из промежутка \((-\infty; 4)\) остаются числа больше 2 и меньше 4 — интервал \((2; 4)\), а промежуток \((6; +\infty)\) остаётся целиком, так как все его числа больше 2. Значит, искомое множество — \((2; 4) \cup (6; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; 3) \cup [8; +\infty)\); б) \([4; +\infty)\); в) \((2; 4) \cup (6; +\infty)\).
