Страница 194 номер 369, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию — до сотых.
Дано:
\(X\) — рост девушек, \(Y\) — рост юношей
девушек и юношей поровну
\(\overline{x} = 166{,}3\) см
\(S^2_X = 8{,}5\) см²
\(\overline{y} = 177{,}6\) см
\(S^2_Y = 9{,}6\) см²
Найти: средний рост и дисперсию роста всех учеников класса.
Решение: Пусть в классе \(n\) девушек и \(n\) юношей, \(Z\) — рост всех учеников класса; суммы ростов девушек и юношей — \(n\overline{x}\) и \(n\overline{y}\), поэтому средний рост всех \(2n\) учеников: \[\begin{aligned} &\overline{z} = \frac{n\overline{x} + n\overline{y}}{2n} = \frac{\overline{x} + \overline{y}}{2} = {} \\ &= \frac{166{,}3 + 177{,}6}{2} = \frac{343{,}9}{2} = 171{,}95 \approx 172{,}0. \end{aligned}\] Средний рост всех учеников, округлённый до десятых, — 172,0 см; в дисперсию входит неокруглённое значение 171,95 см.
Дисперсия равна среднему квадрату без квадрата среднего, откуда средние квадраты ростов девушек и юношей \(\overline{x^2} = S^2_X + \overline{x}^2\) и \(\overline{y^2} = S^2_Y + \overline{y}^2\): \[\begin{aligned} \overline{x^2} &= 8{,}5 + 166{,}3^2 = 8{,}5 + 27\,655{,}69 = 27\,664{,}19; \\ \overline{y^2} &= 9{,}6 + 177{,}6^2 = 9{,}6 + 31\,541{,}76 = 31\,551{,}36. \end{aligned}\] Суммы квадратов ростов девушек и юношей — \(n\overline{x^2}\) и \(n\overline{y^2}\), поэтому средний квадрат роста всех учеников: \[\begin{aligned} &\overline{z^2} = \frac{n\overline{x^2} + n\overline{y^2}}{2n} = \frac{\overline{x^2} + \overline{y^2}}{2} = {} \\ &= \frac{27\,664{,}19 + 31\,551{,}36}{2} = \frac{59\,215{,}55}{2} = 29\,607{,}775. \end{aligned}\] Дисперсия роста всех учеников: \[\begin{aligned} &S^2_Z = \overline{z^2} - \overline{z}^2 = 29\,607{,}775 - 171{,}95^2 = {} \\ &= 29\,607{,}775 - 29\,566{,}8025 = 40{,}9725 \approx 40{,}97. \end{aligned}\]
Ответ: средний рост 172,0 см; дисперсия роста 40,97 см².
В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию — до сотых.
Дано:
\(X\) — рост девушек, \(Y\) — рост юношей
девушек и юношей поровну
\(\overline{x} = 166{,}3\) см
\(S^2_X = 8{,}5\) см²
\(\overline{y} = 177{,}6\) см
\(S^2_Y = 9{,}6\) см²
Найти: средний рост и дисперсию роста всех учеников класса.
Решение: Пусть в классе \(n\) девушек и \(n\) юношей; рост всех учеников класса обозначим \(Z\). Сумма ростов девушек равна \(n\overline{x}\), сумма ростов юношей — \(n\overline{y}\), поэтому средний рост всех \(2n\) учеников: \[\begin{aligned} &\overline{z} = \frac{n\overline{x} + n\overline{y}}{2n} = \frac{\overline{x} + \overline{y}}{2} = {} \\ &= \frac{166{,}3 + 177{,}6}{2} = \frac{343{,}9}{2} = 171{,}95 \approx 172{,}0. \end{aligned}\] Средний рост всех учеников, округлённый до десятых, — 172,0 см; в дисперсию входит неокруглённое значение 171,95 см.
Дисперсия равна среднему квадрату без квадрата среднего. У девушек \(S^2_X = \overline{x^2} - \overline{x}^2\), откуда средний квадрат роста девушек \(\overline{x^2} = S^2_X + \overline{x}^2\); так же для юношей \(\overline{y^2} = S^2_Y + \overline{y}^2\): \[\begin{aligned} \overline{x^2} &= 8{,}5 + 166{,}3^2 = 8{,}5 + 27\,655{,}69 = 27\,664{,}19; \\ \overline{y^2} &= 9{,}6 + 177{,}6^2 = 9{,}6 + 31\,541{,}76 = 31\,551{,}36. \end{aligned}\] Сумма квадратов ростов девушек равна \(n\overline{x^2}\), юношей — \(n\overline{y^2}\), поэтому средний квадрат роста всех учеников: \[\begin{aligned} &\overline{z^2} = \frac{n\overline{x^2} + n\overline{y^2}}{2n} = \frac{\overline{x^2} + \overline{y^2}}{2} = {} \\ &= \frac{27\,664{,}19 + 31\,551{,}36}{2} = \frac{59\,215{,}55}{2} = 29\,607{,}775. \end{aligned}\] Дисперсия роста всех учеников: \[\begin{aligned} &S^2_Z = \overline{z^2} - \overline{z}^2 = 29\,607{,}775 - 171{,}95^2 = {} \\ &= 29\,607{,}775 - 29\,566{,}8025 = 40{,}9725 \approx 40{,}97. \end{aligned}\] Дисперсия роста всех учеников, округлённая до сотых, — 40,97 см².
Ответ: средний рост 172,0 см; дисперсия роста 40,97 см².
