Страница 162 номер 271, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Сколько четырёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр от 1 до 9 таким образом, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей (например, 1367)?
Цифры идут по возрастанию, поэтому все четыре цифры разные, и число определяется тем, какие четыре цифры из 1, 2, …, 9 в нём стоят: выстроить их по возрастанию можно только одним способом. Применить правило умножения прямо к цифрам числа по порядку нельзя: число вариантов для следующей цифры зависит от того, какая цифра стоит перед ней.
Упорядоченные четвёрки разных цифр от 1 до 9: первая — любая из 9, вторая — любая из 8 оставшихся, третья — любая из 7, четвёртая — любая из 6; таких четвёрок \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024\).
Каждый набор из четырёх цифр посчитан в них столько раз, сколькими способами его цифры можно выстроить в ряд, — \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) раза, а по возрастанию из этих порядков идёт только один.
Значит, нужных чисел \[\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126.\]
Ответ: 126 чисел.
Сколько четырёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр от 1 до 9 таким образом, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей (например, 1367)?
Цифры такого числа идут в порядке возрастания, поэтому все четыре цифры разные, а само число определяется тем, какие четыре цифры из 1, 2, …, 9 в нём стоят: выстроить выбранные цифры по возрастанию можно только одним способом. Применить правило умножения прямо к цифрам числа по порядку нельзя: число вариантов для следующей цифры зависит от того, какая цифра стоит перед ней.
Упорядоченные четвёрки разных цифр от 1 до 9 составляются так: первая цифра — любая из 9, вторая — любая из 8 оставшихся, третья — любая из 7, четвёртая — любая из 6. По правилу умножения таких четвёрок будет \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024\).
Каждый набор из четырёх цифр посчитан здесь столько раз, сколькими способами его цифры можно выстроить в ряд, то есть \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) раза: например, цифры 1, 3, 6, 7 дают четвёрки 1367, 1376, 1637 и так далее. Из этих 24 порядков по возрастанию идёт только один. Значит, нужных чисел \[\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126.\]
Ответ: 126 чисел.
