Страница 163 номер 278, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите формулу включения-исключения для трёх множеств: \[\begin{aligned} |A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - {} \\ &- |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \end{aligned}\]
Изобразим множества \(A\), \(B\) и \(C\) на диаграмме Эйлера. Три круга делят объединение \(A \cup B \cup C\) на семь частей. Обозначим числа элементов в этих частях: \(x_1\) — в части, которая принадлежит только множеству \(A\); \(x_2\) — только множеству \(B\); \(x_3\) — только множеству \(C\); \(x_4\) — множествам \(A\) и \(B\), но не \(C\); \(x_5\) — множествам \(A\) и \(C\), но не \(B\); \(x_6\) — множествам \(B\) и \(C\), но не \(A\); \(x_7\) — всем трём множествам.
Каждый элемент объединения лежит ровно в одной из семи частей, поэтому \({|A \cup B \cup C|} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7\). Множества и пересечения из правой части формулы тоже складываются из частей диаграммы: \[\begin{aligned} |A| &= x_1 + x_4 + x_5 + x_7; \\ |B| &= x_2 + x_4 + x_6 + x_7; \\ |C| &= x_3 + x_5 + x_6 + x_7; \\ |A \cap B| &= x_4 + x_7; \\ |A \cap C| &= x_5 + x_7; \\ |B \cap C| &= x_6 + x_7; \\ |A \cap B \cap C| &= x_7. \end{aligned}\]
Отсюда \[\begin{aligned} |A| + |B| + |C| &= x_1 + x_2 + x_3 + {} \\ &+ 2x_4 + 2x_5 + 2x_6 + 3x_7; \\ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| &= x_4 + x_5 + x_6 + 3x_7. \end{aligned}\]
Подставим эти суммы в правую часть формулы: \[\begin{aligned} &|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = {} \\ &= (x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + 2x_5 + 2x_6 + 3x_7) - {} \\ &- (x_4 + x_5 + x_6 + 3x_7) + x_7 = {} \\ &= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = |A \cup B \cup C|. \end{aligned}\]
Правая часть формулы учитывает каждый элемент объединения ровно один раз: элементы, лежащие ровно в двух множествах, посчитаны в сумме \(|A| + |B| + |C|\) лишний раз и один раз вычтены, а элементы всех трёх множеств посчитаны трижды, трижды вычтены и возвращены слагаемым \({|A \cap B \cap C|}\).
Ответ: для любых множеств \(A\), \(B\), \(C\) число элементов их объединения равно \(|A| + |B| + |C| - {|A \cap B|} - {|A \cap C|} - {|B \cap C|} + {|A \cap B \cap C|}\).
Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите формулу включения-исключения для трёх множеств: \[\begin{aligned} |A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - {} \\ &- |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \end{aligned}\]
Изобразим множества \(A\), \(B\) и \(C\) на диаграмме Эйлера. Три круга делят объединение \(A \cup B \cup C\) на семь частей. Обозначим числа элементов в этих частях: \(x_1\) — в части, которая принадлежит только множеству \(A\); \(x_2\) — только множеству \(B\); \(x_3\) — только множеству \(C\); \(x_4\) — множествам \(A\) и \(B\), но не \(C\); \(x_5\) — множествам \(A\) и \(C\), но не \(B\); \(x_6\) — множествам \(B\) и \(C\), но не \(A\); \(x_7\) — всем трём множествам.
Каждый элемент объединения лежит ровно в одной из семи частей, поэтому \({|A \cup B \cup C|} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7\). Каждое множество и каждое пересечение из правой части доказываемой формулы тоже складывается из частей диаграммы: \[\begin{aligned} |A| &= x_1 + x_4 + x_5 + x_7; \\ |B| &= x_2 + x_4 + x_6 + x_7; \\ |C| &= x_3 + x_5 + x_6 + x_7; \\ |A \cap B| &= x_4 + x_7; \\ |A \cap C| &= x_5 + x_7; \\ |B \cap C| &= x_6 + x_7; \\ |A \cap B \cap C| &= x_7. \end{aligned}\]
В сумму \(|A| + |B| + |C|\) числа \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\) входят дважды, а \(x_7\) — трижды; в сумму трёх пересечений по два множества \(x_7\) тоже входит трижды: \[\begin{aligned} |A| + |B| + |C| &= x_1 + x_2 + x_3 + {} \\ &+ 2x_4 + 2x_5 + 2x_6 + 3x_7; \\ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| &= x_4 + x_5 + x_6 + 3x_7. \end{aligned}\]
Подставим эти суммы в правую часть доказываемой формулы: \[\begin{aligned} &|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = {} \\ &= (x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + 2x_5 + 2x_6 + 3x_7) - {} \\ &- (x_4 + x_5 + x_6 + 3x_7) + x_7 = {} \\ &= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = |A \cup B \cup C|. \end{aligned}\]
Правая часть формулы учитывает каждый элемент объединения ровно один раз: элементы, лежащие ровно в двух множествах, посчитаны в сумме \(|A| + |B| + |C|\) лишний раз и один раз вычтены, а элементы всех трёх множеств посчитаны трижды, трижды вычтены и возвращены слагаемым \({|A \cap B \cap C|}\).
Ответ: для любых множеств \(A\), \(B\), \(C\) число элементов их объединения равно \(|A| + |B| + |C| - {|A \cap B|} - {|A \cap C|} - {|B \cap C|} + {|A \cap B \cap C|}\).
