Страница 158 номер 255, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Найдите пересечение и объединение числовых лучей: а) \(x < 6\) и \(x \ge 4\); б) \(x \ge 5\) и \(x \le 1\).
У каждого пункта изобразим оба луча на числовой прямой и закрасим пересечение, если оно не пустое.
а) \(x < 6\) — луч \((-\infty; 6)\), \(x \geqslant 4\) — луч \([4; +\infty)\). Общие числа лучей — от 4 до 6. Число 4 принадлежит обоим лучам, число 6 лучу \((-\infty; 6)\) не принадлежит, так как неравенство \(x < 6\) строгое. Пересечение — полуинтервал \([4; 6)\). Каждое число, не меньшее 6, больше 4 и поэтому принадлежит второму лучу, а остальные числа принадлежат первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
б) \(x \geqslant 5\) — луч \([5; +\infty)\), \(x \leqslant 1\) — луч \((-\infty; 1]\). Число не может быть одновременно не меньше 5 и не больше 1, поэтому общих чисел у лучей нет: пересечение — пустое множество \(\varnothing\). Числа больше 1 и меньше 5 не принадлежат ни одному из лучей, поэтому объединение состоит из двух лучей: \((-\infty; 1] \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) пересечение \([4; 6)\), объединение \((-\infty; +\infty)\); б) пересечение \(\varnothing\), объединение \((-\infty; 1] \cup [5; +\infty)\).
Найдите пересечение и объединение числовых лучей: а) \(x < 6\) и \(x \ge 4\); б) \(x \ge 5\) и \(x \le 1\).
Пересечению принадлежат числа, которые удовлетворяют обоим неравенствам, объединению — числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из них. У каждого пункта изобразим оба луча на числовой прямой и закрасим пересечение, если оно не пустое.
а) Неравенство \(x < 6\) задаёт луч \((-\infty; 6)\), неравенство \(x \geqslant 4\) — луч \([4; +\infty)\). Общие числа лучей — от 4 до 6. Число 4 принадлежит обоим лучам, число 6 лучу \((-\infty; 6)\) не принадлежит, так как неравенство \(x < 6\) строгое. Пересечение — полуинтервал \([4; 6)\). Каждое число, не меньшее 6, больше 4 и поэтому принадлежит второму лучу, а остальные числа принадлежат первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
б) Неравенство \(x \geqslant 5\) задаёт луч \([5; +\infty)\), неравенство \(x \leqslant 1\) — луч \((-\infty; 1]\). Число не может быть одновременно не меньше 5 и не больше 1, поэтому общих чисел у лучей нет: пересечение — пустое множество \(\varnothing\). Числа больше 1 и меньше 5 не принадлежат ни одному из лучей, поэтому объединение состоит из двух лучей: \((-\infty; 1] \cup [5; +\infty)\).
Ответ: а) пересечение \([4; 6)\), объединение \((-\infty; +\infty)\); б) пересечение \(\varnothing\), объединение \((-\infty; 1] \cup [5; +\infty)\).
