Вопросы после параграфа §39 на странице 157, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1

Отрезок \([a; b]\) состоит из чисел \(x\), для которых \(a \leqslant x \leqslant b\): оба конца ему принадлежат, например \([0; 1]\). Интервал \((a; b)\) — числа, для которых \(a < x < b\): концы ему не принадлежат, например \((-2; 1)\). Полуинтервал \([a; b)\) или \((a; b]\) — числа, для которых \(a \leqslant x < b\) или \(a < x \leqslant b\): ему принадлежит только один конец, например \([4; 6)\). Числовой луч — все числа, которые больше данного числа или не меньше его, например \((8; +\infty)\) и \([8; +\infty)\), либо все числа, которые меньше данного числа или не больше его, например \((-\infty; 1)\) и \((-\infty; 1]\). Вся числовая прямая — промежуток \((-\infty; +\infty)\).

Ответ: отрезки, интервалы, полуинтервалы, числовые лучи и вся числовая прямая.

Пересечению принадлежат числа, которые лежат в обоих отрезках, то есть не меньше каждого из левых концов и не больше каждого из правых. Поэтому возможны три случая. Отрезки перекрываются — пересечение есть отрезок от большего из левых концов до меньшего из правых: \([1; 4] \cap [2; 6] = [2; 4]\), \([1; 6] \cap [2; 3] = [2; 3]\). Отрезки имеют только одну общую точку — правый конец одного отрезка совпадает с левым концом другого, и пересечение состоит из одного числа: \([1; 3] \cap [3; 5] = \{3\}\). Отрезки не имеют общих точек — пересечение пустое: \([1; 2] \cap [4; 5] = \varnothing\).

Ответ: отрезком, множеством из одного числа или пустым множеством.

Возьмём общую точку отрезков. Все числа от меньшего из левых концов до общей точки лежат в отрезке с этим левым концом: отрезку принадлежат его левый конец и общая точка, а значит, и все числа между ними. Так же все числа от общей точки до большего из правых концов лежат в отрезке с этим правым концом. Левее меньшего из левых концов и правее большего из правых нет чисел объединения. Значит, объединение — отрезок от меньшего из левых концов до большего из правых: \([-1; 3] \cup [2; 5] = [-1; 5]\), \([1; 3] \cup [3; 5] = [1; 5]\), \([1; 6] \cup [2; 3] = [1; 6]\).

Ответ: отрезком.

Если лучи направлены в одну сторону, один из них содержится в другом, и пересечение — этот луч: \((8; +\infty) \cap (5; +\infty) = (8; +\infty)\). Если лучи направлены в разные стороны, пересечение зависит от того, как расположены их начала и принадлежат ли начала лучам. Оно может быть отрезком: \([3; +\infty) \cap (-\infty; 7] = [3; 7]\); интервалом: \((2; +\infty) \cap (-\infty; 9) = (2; 9)\); полуинтервалом: \([4; +\infty) \cap (-\infty; 6) = [4; 6)\); множеством из одного числа: \([5; +\infty) \cap (-\infty; 5] = \{5\}\); пустым множеством: \([5; +\infty) \cap (-\infty; 1] = \varnothing\).

Ответ: числовым лучом, отрезком, интервалом, полуинтервалом, множеством из одного числа или пустым множеством.