Страница 163 номер 279, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
В классе 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями: а) «Каждый, кто учится в этом классе, посещает оба кружка»; б) «Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он ходит и на кружок по математике»; в) «Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка»; г) «Оба кружка сразу посещают менее 11 человек»?
Пусть \(A\) — множество учеников класса, которые посещают кружок по истории, \(B\) — по математике: \(|A| = 13\), \(|B| = 10\). В классе 20 человек, поэтому \({|A \cup B|} \leqslant 20\).
а) Кружок по истории не посещают 7 учеников из 20 — тем более они не посещают оба кружка. Высказывание ложно.
б) Высказывание означает, что \(A \subset B\). Тогда в множестве \(B\) было бы не меньше элементов, чем в множестве \(A\), но \(|A| = 13\), а \(|B| = 10\). Высказывание ложно: хотя бы \(13 - 10 = 3\) ученика ходят на кружок по истории, но не ходят на кружок по математике.
в) Оба кружка посещают ученики из пересечения \(A \cap B\). По формуле включения-исключения \({|A \cap B|} = |A| + |B| - {|A \cup B|} = 13 + 10 - {|A \cup B|} = 23 - {|A \cup B|}\), а \({|A \cup B|} \leqslant 20\), поэтому \({|A \cap B|} \geqslant 23 - 20 = 3\). Оба кружка посещают не меньше трёх учеников, значит, двое таких точно найдутся. Высказывание истинно.
г) Пересечение \(A \cap B\) — подмножество множества \(B\), поэтому \({|A \cap B|} \leqslant |B| = 10\): оба кружка сразу посещают не больше 10 человек, то есть менее 11. Высказывание истинно.
Ответ: истинны высказывания в) и г); высказывания а) и б) ложны.
В классе 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями: а) «Каждый, кто учится в этом классе, посещает оба кружка»; б) «Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он ходит и на кружок по математике»; в) «Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка»; г) «Оба кружка сразу посещают менее 11 человек»?
Пусть \(A\) — множество учеников класса, которые посещают кружок по истории, \(B\) — множество учеников, которые посещают кружок по математике: \(|A| = 13\), \(|B| = 10\). В классе 20 человек, поэтому \({|A \cup B|} \leqslant 20\).
а) Кружок по истории посещают 13 человек из 20, значит, 7 учеников его не посещают и тем более не посещают оба кружка. Высказывание ложно.
б) Высказывание означает, что каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), то есть \(A \subset B\). Тогда в множестве \(B\) было бы не меньше элементов, чем в множестве \(A\), но \(|A| = 13\), а \(|B| = 10\). Высказывание ложно: хотя бы \(13 - 10 = 3\) ученика ходят на кружок по истории, но не ходят на кружок по математике.
в) Оба кружка посещают ученики из пересечения \(A \cap B\). По формуле включения-исключения \({|A \cap B|} = |A| + |B| - {|A \cup B|} = 13 + 10 - {|A \cup B|} = 23 - {|A \cup B|}\), а \({|A \cup B|} \leqslant 20\), поэтому \({|A \cap B|} \geqslant 23 - 20 = 3\). Оба кружка посещают не меньше трёх учеников, значит, двое таких точно найдутся. Высказывание истинно.
г) Пересечение \(A \cap B\) — подмножество множества \(B\), поэтому \({|A \cap B|} \leqslant |B| = 10\): оба кружка сразу посещают не больше 10 человек, то есть менее 11. Высказывание истинно.
Ответ: истинны высказывания в) и г); высказывания а) и б) ложны.
