Страница 164 номер 280, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
В группе 30 студентов, из них 20 студентов сдали зачёт по экономике и 20 студентов сдали зачёт по английскому языку. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями: а) «В этой группе найдутся 11 студентов, не сдавших ни одного зачёта»; б) «Не менее чем 10 студентов этой группы сдали оба зачёта»; в) «Не более 20 студентов этой группы сдали оба зачёта»; г) «Каждый студент этой группы сдал хотя бы один зачёт»?
Пусть \(A\) — множество студентов группы, которые сдали зачёт по экономике, \(B\) — по английскому языку: \(|A| = 20\), \(|B| = 20\). В группе 30 студентов, поэтому \({|A \cup B|} \leqslant 30\); множество \(A\) — подмножество объединения \(A \cup B\), поэтому \({|A \cup B|} \geqslant 20\). По формуле включения-исключения оба зачёта сдали \({|A \cap B|} = |A| + |B| - {|A \cup B|} = 20 + 20 - {|A \cup B|} = 40 - {|A \cup B|}\) студентов.
Про группу известны только эти числа, поэтому истинным будет только высказывание, верное при любом распределении сданных зачётов с этими числами.
а) Ни одного зачёта не сдали студенты вне объединения \(A \cup B\), их \(30 - {|A \cup B|} \leqslant 30 - 20 = 10\), поэтому 11 таких студентов найтись не может. Высказывание ложно.
б) Так как \({|A \cup B|} \leqslant 30\), получаем \({|A \cap B|} \geqslant 40 - 30 = 10\): оба зачёта сдали не менее 10 студентов. Высказывание истинно.
в) Пересечение \(A \cap B\) — подмножество множества \(A\), поэтому \({|A \cap B|} \leqslant |A| = 20\): оба зачёта сдали не более 20 студентов. Высказывание истинно.
г) Условию не противоречит случай, когда оба зачёта сдали одни и те же 20 студентов: тогда в объединении \(A \cup B\) всего 20 студентов, и \(30 - 20 = 10\) студентов не сдали ни одного зачёта. Значит, высказывание не является истинным.
Ответ: истинны высказывания б) и в); высказывания а) и г) истинными не являются.
В группе 30 студентов, из них 20 студентов сдали зачёт по экономике и 20 студентов сдали зачёт по английскому языку. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями: а) «В этой группе найдутся 11 студентов, не сдавших ни одного зачёта»; б) «Не менее чем 10 студентов этой группы сдали оба зачёта»; в) «Не более 20 студентов этой группы сдали оба зачёта»; г) «Каждый студент этой группы сдал хотя бы один зачёт»?
Пусть \(A\) — множество студентов группы, которые сдали зачёт по экономике, \(B\) — множество студентов, которые сдали зачёт по английскому языку: \(|A| = 20\), \(|B| = 20\). В группе 30 студентов, поэтому \({|A \cup B|} \leqslant 30\); множество \(A\) — подмножество объединения \(A \cup B\), поэтому \({|A \cup B|} \geqslant 20\). По формуле включения-исключения оба зачёта сдали \({|A \cap B|} = |A| + |B| - {|A \cup B|} = 20 + 20 - {|A \cup B|} = 40 - {|A \cup B|}\) студентов.
Про группу известны только эти числа, поэтому истинным высказыванием будет только такое, которое верно при любом распределении сданных зачётов с этими числами.
а) Ни одного зачёта не сдали студенты, которые не входят в объединение \(A \cup B\); их \(30 - {|A \cup B|} \leqslant 30 - 20 = 10\). Значит, 11 таких студентов найтись не может. Высказывание ложно.
б) Так как \({|A \cup B|} \leqslant 30\), получаем \({|A \cap B|} \geqslant 40 - 30 = 10\): оба зачёта сдали не менее 10 студентов. Высказывание истинно.
в) Пересечение \(A \cap B\) — подмножество множества \(A\), поэтому \({|A \cap B|} \leqslant |A| = 20\): оба зачёта сдали не более 20 студентов. Высказывание истинно.
г) Условию не противоречит случай, когда оба зачёта сдали одни и те же 20 студентов: тогда в объединении \(A \cup B\) всего 20 студентов, и \(30 - 20 = 10\) студентов не сдали ни одного зачёта. Значит, утверждать, что каждый студент сдал хотя бы один зачёт, нельзя: высказывание не является истинным.
Ответ: истинны высказывания б) и в); высказывания а) и г) истинными не являются.
