Страница 157 номер 251, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Найдите пересечение двух числовых промежутков и изобразите промежутки и их пересечение на числовой прямой. а) \(1 \le x \le 3\) и \(2 < x \le 8\); б) \(x > 8\) и \(x > 5\); в) \(x \le 1{,}5\) и \(-3 \le x \le 6\); г) \(2 < x < 9\) и \(x \ge 5{,}7\).
У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим их пересечение.
а) \(1 \leqslant x \leqslant 3\) — отрезок \([1; 3]\), \(2 < x \leqslant 8\) — полуинтервал \((2; 8]\). Общие числа — от 2 до 3; число 2 полуинтервалу \((2; 8]\) не принадлежит, так как неравенство \(2 < x\) строгое, а число 3 принадлежит обоим промежуткам. Пересечение — полуинтервал \((2; 3]\), то есть \(2 < x \leqslant 3\).
б) \(x > 8\) — луч \((8; +\infty)\), \(x > 5\) — луч \((5; +\infty)\). Каждое число, большее 8, больше и 5, поэтому \((8; +\infty) \subset (5; +\infty)\) и пересечение совпадает с лучом \((8; +\infty)\), то есть \(x > 8\).
в) \(x \leqslant 1{,}5\) — луч \((-\infty; 1{,}5]\), \(-3 \leqslant x \leqslant 6\) — отрезок \([-3; 6]\). Общие числа — от \(-3\) до \(1{,}5\), причём числа \(-3\) и \(1{,}5\) принадлежат обоим промежуткам. Пересечение — отрезок \([-3; 1{,}5]\), то есть \(-3 \leqslant x \leqslant 1{,}5\).
г) \(2 < x < 9\) — интервал \((2; 9)\), \(x \geqslant 5{,}7\) — луч \([5{,}7; +\infty)\). Общие числа — от \(5{,}7\) до 9; число \(5{,}7\) принадлежит обоим промежуткам, а число 9 интервалу \((2; 9)\) не принадлежит, так как неравенство \(x < 9\) строгое. Пересечение — полуинтервал \([5{,}7; 9)\), то есть \(5{,}7 \leqslant x < 9\).
Ответ: а) \(2 < x \leqslant 3\); б) \(x > 8\); в) \(-3 \leqslant x \leqslant 1{,}5\); г) \(5{,}7 \leqslant x < 9\).
Найдите пересечение двух числовых промежутков и изобразите промежутки и их пересечение на числовой прямой. а) \(1 \le x \le 3\) и \(2 < x \le 8\); б) \(x > 8\) и \(x > 5\); в) \(x \le 1{,}5\) и \(-3 \le x \le 6\); г) \(2 < x < 9\) и \(x \ge 5{,}7\).
Пересечение двух промежутков — множество чисел, которые принадлежат и первому промежутку, и второму, то есть удовлетворяют обоим неравенствам. У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим их пересечение.
а) Неравенство \(1 \leqslant x \leqslant 3\) задаёт отрезок \([1; 3]\), неравенство \(2 < x \leqslant 8\) — полуинтервал \((2; 8]\). Общие числа этих промежутков — от 2 до 3. Число 2 полуинтервалу \((2; 8]\) не принадлежит, так как неравенство \(2 < x\) строгое; число 3 принадлежит обоим промежуткам: \(2 < 3 \leqslant 8\). Пересечение — полуинтервал \((2; 3]\), то есть \(2 < x \leqslant 3\).
б) Неравенство \(x > 8\) задаёт луч \((8; +\infty)\), неравенство \(x > 5\) — луч \((5; +\infty)\). Каждое число, большее 8, больше и 5, поэтому \((8; +\infty) \subset (5; +\infty)\) и пересечение совпадает с лучом \((8; +\infty)\), то есть \(x > 8\).
в) Неравенство \(x \leqslant 1{,}5\) задаёт луч \((-\infty; 1{,}5]\), неравенство \(-3 \leqslant x \leqslant 6\) — отрезок \([-3; 6]\). Общие числа этих промежутков — от \(-3\) до \(1{,}5\). Число \(-3\) принадлежит обоим промежуткам: \(-3 \leqslant 1{,}5\); число \(1{,}5\) — тоже: \(-3 \leqslant 1{,}5 \leqslant 6\). Пересечение — отрезок \([-3; 1{,}5]\), то есть \(-3 \leqslant x \leqslant 1{,}5\).
г) Неравенство \(2 < x < 9\) задаёт интервал \((2; 9)\), неравенство \(x \geqslant 5{,}7\) — луч \([5{,}7; +\infty)\). Общие числа этих промежутков — от \(5{,}7\) до 9. Число \(5{,}7\) принадлежит обоим промежуткам: \(2 < 5{,}7 < 9\); число 9 интервалу \((2; 9)\) не принадлежит, так как неравенство \(x < 9\) строгое. Пересечение — полуинтервал \([5{,}7; 9)\), то есть \(5{,}7 \leqslant x < 9\).
Ответ: а) \(2 < x \leqslant 3\); б) \(x > 8\); в) \(-3 \leqslant x \leqslant 1{,}5\); г) \(5{,}7 \leqslant x < 9\).
