Страница 158 номер 254, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков: а) \([4; 7]\) и \((0; 6)\); б) \((-5; 2)\) и \((3; 7)\); в) \([-4; 1]\) и \((-2; 5)\); г) \((-\infty; 7]\) и \([5; +\infty)\).
У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим пересечение, если оно не пустое.
а) Общие числа отрезка \([4; 7]\) и интервала \((0; 6)\) — от 4 до 6. Число 4 принадлежит обоим промежуткам, число 6 интервалу не принадлежит. Пересечение — полуинтервал \([4; 6)\). Промежутки перекрываются, поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от 0 до 7. Число 0 не принадлежит ни одному из промежутков, число 7 принадлежит отрезку. Объединение — полуинтервал \((0; 7]\).
б) Числа интервала \((-5; 2)\) меньше 2, а числа интервала \((3; 7)\) больше 3, поэтому общих чисел у интервалов нет: пересечение — пустое множество \(\varnothing\). Числа от 2 до 3, включая 2 и 3, не принадлежат ни одному из интервалов, поэтому объединение состоит из двух интервалов: \((-5; 2) \cup (3; 7)\).
в) Общие числа отрезка \([-4; 1]\) и интервала \((-2; 5)\) — от \(-2\) до 1. Число \(-2\) интервалу не принадлежит, число 1 принадлежит обоим промежуткам. Пересечение — полуинтервал \((-2; 1]\). Промежутки перекрываются, поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от \(-4\) до 5. Число \(-4\) принадлежит отрезку, число 5 не принадлежит ни одному из промежутков. Объединение — полуинтервал \([-4; 5)\).
г) Общие числа лучей \((-\infty; 7]\) и \([5; +\infty)\) — от 5 до 7, причём числа 5 и 7 принадлежат обоим лучам. Пересечение — отрезок \([5; 7]\). Каждое число, большее 7, принадлежит второму лучу, а остальные числа — первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
Ответ: а) пересечение \([4; 6)\), объединение \((0; 7]\); б) пересечение \(\varnothing\), объединение \((-5; 2) \cup (3; 7)\); в) пересечение \((-2; 1]\), объединение \([-4; 5)\); г) пересечение \([5; 7]\), объединение \((-\infty; +\infty)\).
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков: а) \([4; 7]\) и \((0; 6)\); б) \((-5; 2)\) и \((3; 7)\); в) \([-4; 1]\) и \((-2; 5)\); г) \((-\infty; 7]\) и \([5; +\infty)\).
Пересечению принадлежат числа, которые лежат в обоих промежутках, объединению — числа, которые лежат хотя бы в одном из них. У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим пересечение, если оно не пустое.
а) Общие числа отрезка \([4; 7]\) и интервала \((0; 6)\) — от 4 до 6. Число 4 принадлежит обоим промежуткам, число 6 интервалу не принадлежит. Пересечение — полуинтервал \([4; 6)\). Промежутки перекрываются, поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от 0 до 7. Число 0 не принадлежит ни одному из промежутков, число 7 принадлежит отрезку. Объединение — полуинтервал \((0; 7]\).
б) Числа интервала \((-5; 2)\) меньше 2, а числа интервала \((3; 7)\) больше 3, поэтому общих чисел у интервалов нет: пересечение — пустое множество \(\varnothing\). Числа от 2 до 3, включая 2 и 3, не принадлежат ни одному из интервалов, поэтому объединение состоит из двух интервалов: \((-5; 2) \cup (3; 7)\).
в) Общие числа отрезка \([-4; 1]\) и интервала \((-2; 5)\) — от \(-2\) до 1. Число \(-2\) интервалу не принадлежит, число 1 принадлежит обоим промежуткам. Пересечение — полуинтервал \((-2; 1]\). Промежутки перекрываются, поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от \(-4\) до 5. Число \(-4\) принадлежит отрезку, число 5 не принадлежит ни одному из промежутков. Объединение — полуинтервал \([-4; 5)\).
г) Общие числа лучей \((-\infty; 7]\) и \([5; +\infty)\) — от 5 до 7, причём числа 5 и 7 принадлежат обоим лучам. Пересечение — отрезок \([5; 7]\). Каждое число, большее 7, принадлежит второму лучу, а остальные числа — первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
Ответ: а) пересечение \([4; 6)\), объединение \((0; 7]\); б) пересечение \(\varnothing\), объединение \((-5; 2) \cup (3; 7)\); в) пересечение \((-2; 1]\), объединение \([-4; 5)\); г) пересечение \([5; 7]\), объединение \((-\infty; +\infty)\).
