Страница 158 номер 252, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой. а) \(3 < x \le 5\) и \(4 < x \le 8\); б) \(x > 2\) и \(x < -1\); в) \(x \ge 6\) и \(x \le 9\); г) \(5 \le x < 7\) и \(x > 4\).
У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим их объединение.
а) \(3 < x \leqslant 5\) — полуинтервал \((3; 5]\), \(4 < x \leqslant 8\) — полуинтервал \((4; 8]\). Промежутки перекрываются: числа больше 4 и не больше 5 принадлежат обоим. Поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от 3 до 8. Число 3 не принадлежит ни одному из промежутков, число 8 принадлежит второму. Объединение — полуинтервал \((3; 8]\).
б) \(x > 2\) — луч \((2; +\infty)\), \(x < -1\) — луч \((-\infty; -1)\). Числа от \(-1\) до 2, включая \(-1\) и 2, не принадлежат ни одному из лучей. Объединение состоит из двух лучей: \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
в) \(x \geqslant 6\) — луч \([6; +\infty)\), \(x \leqslant 9\) — луч \((-\infty; 9]\). Каждое число, меньшее 6, меньше и 9 и поэтому принадлежит второму лучу, а остальные числа принадлежат первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
г) \(5 \leqslant x < 7\) — полуинтервал \([5; 7)\), \(x > 4\) — луч \((4; +\infty)\). Каждое число полуинтервала \([5; 7)\) больше 4, поэтому \([5; 7) \subset (4; +\infty)\) и объединение совпадает с лучом \((4; +\infty)\).
Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой. а) \(3 < x \le 5\) и \(4 < x \le 8\); б) \(x > 2\) и \(x < -1\); в) \(x \ge 6\) и \(x \le 9\); г) \(5 \le x < 7\) и \(x > 4\).
Объединению принадлежат числа, которые лежат хотя бы в одном из промежутков. У каждого пункта изобразим оба промежутка на числовой прямой и закрасим их объединение.
а) Неравенство \(3 < x \leqslant 5\) задаёт полуинтервал \((3; 5]\), неравенство \(4 < x \leqslant 8\) — полуинтервал \((4; 8]\). Промежутки перекрываются: числа больше 4 и не больше 5 принадлежат обоим. Поэтому вместе они без пропусков покрывают числа от 3 до 8. Число 3 не принадлежит ни одному из промежутков, число 8 принадлежит второму. Объединение — полуинтервал \((3; 8]\).
б) Неравенство \(x > 2\) задаёт луч \((2; +\infty)\), неравенство \(x < -1\) — луч \((-\infty; -1)\). Числа от \(-1\) до 2, включая \(-1\) и 2, не принадлежат ни одному из лучей. Объединение состоит из двух лучей: \((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
в) Неравенство \(x \geqslant 6\) задаёт луч \([6; +\infty)\), неравенство \(x \leqslant 9\) — луч \((-\infty; 9]\). Каждое число, меньшее 6, меньше и 9 и поэтому принадлежит второму лучу, а остальные числа принадлежат первому. Объединение — вся числовая прямая \((-\infty; +\infty)\).
г) Неравенство \(5 \leqslant x < 7\) задаёт полуинтервал \([5; 7)\), неравенство \(x > 4\) — луч \((4; +\infty)\). Каждое число полуинтервала \([5; 7)\) больше 4, поэтому \([5; 7) \subset (4; +\infty)\) и объединение совпадает с лучом \((4; +\infty)\).
