Страница 161 номер 266, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Сколько диагоналей: а) у 15-угольника; б) у 20-угольника?
а) Один конец диагонали — любая из 15 вершин, другой — любая, кроме выбранной и двух соседних с ней: \(15 - 3 = 12\) (вершин).
В \(15 \cdot 12\) упорядоченных парах вершин каждая диагональ посчитана дважды (концы в одном порядке и в обратном), поэтому диагоналей \[\frac{15 \cdot 12}{2} = 15 \cdot 6 = 90.\]
б) Один конец диагонали — любая из 20 вершин, другой — любая, кроме выбранной и двух соседних с ней: \(20 - 3 = 17\) (вершин).
В \(20 \cdot 17\) упорядоченных парах вершин каждая диагональ посчитана дважды, поэтому диагоналей \[\frac{20 \cdot 17}{2} = 10 \cdot 17 = 170.\]
Ответ: а) 90 диагоналей; б) 170 диагоналей.
Сколько диагоналей: а) у 15-угольника; б) у 20-угольника?
Диагональ соединяет две вершины многоугольника, которые не являются соседними.
а) На один конец диагонали поставим любую из 15 вершин, на другой — любую вершину, кроме выбранной и двух соседних с ней, то есть одну из \(15 - 3 = 12\) вершин. Получается \(15 \cdot 12\) упорядоченных пар вершин. При этом каждая диагональ посчитана дважды: её концы можно взять в одном порядке и в обратном. Значит, диагоналей вдвое меньше: \[\frac{15 \cdot 12}{2} = 15 \cdot 6 = 90.\]
б) На один конец диагонали поставим любую из 20 вершин, на другой — любую вершину, кроме выбранной и двух соседних с ней, то есть одну из \(20 - 3 = 17\) вершин. Упорядоченных пар вершин получается \(20 \cdot 17\), и каждая диагональ посчитана в них дважды: \[\frac{20 \cdot 17}{2} = 10 \cdot 17 = 170.\]
Ответ: а) 90 диагоналей; б) 170 диагоналей.
