Страница 162 номер 270, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Сколько существует способов: а) рассадить пять человек вокруг круглого стола на пять стульев; б) поставить этих пятерых в хоровод вокруг ёлки?
а) Стулья стоят на своих местах, поэтому рассадка определяется тем, кто сидит на каждом стуле. На первый стул — любой из пяти человек, на второй — любой из четырёх оставшихся, на третий — любой из трёх, на четвёртый — любой из двух, на пятый — оставшийся: \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\) (способов).
б) Хоровод не привязан к местам: он определяется тем, кто у каждого сосед слева и кто — справа. Если все пятеро за столом пересядут по кругу на один стул в одну и ту же сторону, рассадка станет другой, а соседи слева и справа у каждого останутся прежними — хоровод тот же. Сдвигами на 1, 2, 3 и 4 стула каждая рассадка даёт ещё четыре, и все эти пять рассадок отвечают одному хороводу, поэтому хороводов в 5 раз меньше, чем рассадок: \(120 : 5 = 24\). Зеркальный порядок — уже другой хоровод: соседи слева и справа у каждого меняются местами.
Ответ: а) 120 способов; б) 24 способа.
Сколько существует способов: а) рассадить пять человек вокруг круглого стола на пять стульев; б) поставить этих пятерых в хоровод вокруг ёлки?
а) Стулья стоят на своих местах, поэтому рассадка определяется тем, кто сидит на каждом стуле. Пронумеруем стулья по кругу. На первый стул можно посадить любого из пяти человек, на второй — любого из четырёх оставшихся, на третий — любого из трёх, на четвёртый — любого из двух, а на пятый сядет оставшийся. По правилу умножения способов будет \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\).
б) Хоровод не привязан к местам: он определяется тем, кто за кем стоит по кругу, то есть тем, кто у каждого сосед слева и кто — справа. Если все пятеро за столом пересядут по кругу на один стул в одну и ту же сторону, рассадка станет другой, а соседи слева и справа у каждого останутся прежними — хоровод тот же. Сдвигами на 1, 2, 3 и 4 стула каждая рассадка даёт ещё четыре, и все эти пять рассадок отвечают одному хороводу. Значит, хороводов в 5 раз меньше, чем рассадок за столом: \(120 : 5 = 24\). Зеркальный порядок — уже другой хоровод: соседи слева и справа у каждого меняются местами.
Тот же ответ получится, если считать от одного из пятерых: справа от него может стоять любой из четырёх остальных, следующим по кругу — любой из трёх, затем — любой из двух, последним — оставшийся: \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\).
Ответ: а) 120 способов; б) 24 способа.
